Выборочные характеристики статистического распределения

Одной из основных характеристик статистических распределений является выборочная средняя , которая характеризует типичное для выборки значение признака. Если данные сгруппированы, то (взвешенная средняя арифметическая).

Если данные не сгруппированы, то (средняя арифметическая).

Кроме рассмотренной средней арифметической для статистических распределений используют еще структурные (порядковые) средние. К ним относятся мода и медиана.

Мода - это значение признака, которому соответствует наибольшая частота (наиболее часто встречающееся значение признака Х)

Медиана - это значение признака, делящее ранжированный вариационный ряд на две равные по численности группы.

Если n – четное число, т. е. n=2k, то .

Если n – нечетное число, т. е. n=2k+1, то

Если в результате вычислений , то распределение признака Х симметричное. Если хотя бы одно из этих равенств нарушается, то распределение асимметричное.

Перечисленные средние, чаще всего, дополняются характеристиками вариации (колеблемости или рассеяния).

Самую грубую оценку рассеяния значений признака дает размах вариации .

.Для оценки колеблемости значений признака относительно средней чаще всего используется выборочная дисперсия - это выборочная средняя арифметическая квадратов отклонений значений признака Х от выборочной средней , то есть

Дисперсия может быть рассчитана двумя способами:

1. Если данные наблюдения сгруппированы, то ,

если данные не сгруппированы, то

2. , где , если данные сгруппированы, и

, если данные не сгруппированы.

Дисперсия дополняется средним квадратическим отклонением и коэффициентом вариации

Выборочное среднее квадратическое отклонение есть арифметический квадратный корень из дисперсии

.

Оно показывает, на сколько каждое значение признака Х отклоняется от его среднего значения в среднем. Среднее квадратическое отклонение имеет те же единицы измерения, что и сам признак Х.

Коэффициент вариации применяют для сравнения признаков, имеющих разные единицы измерения. Он равен процентному отношению среднего квадратического отклонения к выборочной средней, то есть

.

Если < 33%, то рассматриваемая совокупность однородная, в противном случае – неоднородная.

Все вышеперечисленные формулы могут быть применены только для дискретных рядов. Поэтому, чтобы считать выборочные характеристики для интервальных рядов, нужно заменить каждый частичный интервал его серединой . Таким образом, интервальный ряд заменяется дискретным, соответствующим ему приближенно.

Начальные и центральные моменты вариационного ряда

Выборочная средняя и дисперсия вариационного ряда являются частными случаями более общего понятия – моментов вариационного ряда.

Начальный момент k-го порядка вариационного ряда определяется по формуле:

.

Очевидно, что , т. е. выборочная средняя является начальным моментом первого порядка вариационного ряда.

Центральный момент k-го порядка вариационного ряда определяется по формуле:

.

Одним из свойств средней арифметической является то, что среднее значение отклонений значений признака от средней выборочной равно нулю, т. е. . Исходя из этого получается, что , а, т. е. центральный момент первого порядка для любого распределения равен нулю, а второго порядка является дисперсией вариационного ряда.

Коэффициентом ассимметрии вариационного ряда называется число

.

Если А=0, то распределение имеет симметричную форму, т. е. варианты, равноудаленные от , имеют одинаковую частоту. При А>0 (A<0) говорят о положительной (правосторонней) или отрицательной (левосторонней) ассимметрии.

Эксцессом вариационного ряда называется число

Эксцесс является показателем “крутости” вариационного ряда по сравнению с нормальным распределением. Эксцесс нормального распределения равен нулю.

Если E>0 (E<0), то полигон вариационного ряда имеет более крутую (пологую) вершину по сравнению с нормальной кривой.