Эмпирическая функция распределения

В результате выборочного наблюдения значений признака Х генеральной совокупности получается ряд распределения, или так называемый вариационный ряд, который может быть или дискретным или интервальным.

Ряд распределения признака Х, полученный в результате наблюдения (опыта), называется эмпирическим распределением признака Х. Как известно, поведение случайной величины может быть описано функцией распределения F(x), которая для каждого действительного числа х выражает вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, т. е.

F(x) = P(X<x) (3).

Подобно этому, если имеем эмпирическое распределение признака Х, то для каждого действительного числа х можем указать определенную частость тех значений признака Х, которые меньше заданного числа х. Значит, упомянутая частость будет функцией числа х.

Накопленной частотой называется число значений признака Х, меньших заданного значения х: Н(х)=m(X<x)

Накопленной относительной частотой называется отношение числа значений признака Х, меньших числа х, к объему выборки n. Эта величина обозначается и называется эмпирической функцией распределения. Таким образом,

(4).

Эмпирическая функция распределения обладает следующими свойствами:

1) она неотрицательна, т.е.;

2) она является неубывающей функцией.

Основное назначение эмпирической функции распределения состоит в том, что она используется для оценки теоретической функции распределения признака в генеральной совокупности.

Графическое изображение рядов распределения

Дискретный ряд изображают в виде полигона. Полигон частот (рис.1) – ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами (x_i, m_i), а полигон относительных частот (рис.2) – ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (x_i, m_i/n)

Рисунок 1 Рисунок 2

Полигон частот Полигон частостей

Интервальный ряд изображают в виде гистограммы. Гистограмма частот (рис.4) – это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основания которых интервалы длиной h_i, а высоты – плотности частот . Для гистограммы относительных частот (рис. 3) высоты прямоугольников – плотности относительных частот .

Рисунок 3 Рисунок 4

Гистограмма частот Гистограмма частостей

Величину назовем шагом выборки. Обычно шаг делают одинаковым для всех интервалов , где i=1, 2, …, k.

Площадь гистограммы есть сумма площадей ее прямоугольников.

, , таким образом, площадь гистограммы частот S_ч равна объему выборки, а площадь гистограммы относительных частот S_отн.ч равна единице.

Если в статистическом распределении вместо частот (относительных частот) указать накопленные частоты или относительные накопленные частоты (т. е. значения эмпирической функции распределения), то такой ряд распределения называется кумулятивным и графически изображается в виде кумуляты. Для ее построения на оси абсцисс откладывают варианты признака или интервалы, а на оси ординат – накопленные частоты Н(х) или относительные накопленные частоты F^*(x), а затем точки с координатами (х, Н(х)) или (x_i, F^*(x_i)) соединяют отрезками прямой

Рисунок 5 Рисунок 6

Кумулята частот Кумулята частостей