5.4.Логорифмитическая амплитудно-частотная характеристика

ЛАЧХ определяется за формулой :

L(ω) = 20 * lg(A(ω))

L(ω) = 20*lg() = 20*lg(3,9) – 10*lg()

ω, с-1	L(ω), Дб
0.01	8,315*10-5
0.1	8,318*10-3
1	0,86
10	-23,05
100	-80,3

График ЛАЧХ

6.Произвести анализ устойчивости сау:

6.1.Критерий Вышнеградского

Передаточная функция замкнутой системы равна:

W(s) = , тогда характеристическое уравнение

= 0 <=> , где

а₀=0,04 ; а₁=0,5 ; а₂=1 ; а₃=3,9

1. а₀ , а₁ , а₂ , а₃ > 0 - выполняется

2. а₂*а₁ > а₃*а₀ т.е. 0,5 > 0,16

Чтоб судить об устойчивости системы за критерием Вышнеградского, необходимо, выполнялись 2 пункта, что не выполняется во втором случае.

Поэтому, за данным критерием система неустойчива.

6.2.Критерий Рауса-Гурвица

Система устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения – отрицательны. Тогда, в соответствии с критерием Рауса – Гурвица, для того, чтоб действительные части корней хар-го уравнения

b₀*x^m+b₁*x^m-1+b₂*x^m-2+…+b_m-1*x+b_m = 0

с действительными коэффициентами и b₀ > 0 , были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все определители Δ₁, Δ₂, … Δ_m :

= 0

b₀=0,04 ; b₁=0,5 ; b₂=1 ; b₃=3,9

Δ₃ = = 1,34

Δ₂ = == 0,5 - 3,9*0,04 = 0,34

Δ₂ = 1

Т.к. условие устойчивости b₀, b₁, b₂, b₃ > 0 выполняется и Δ₁, Δ₂, Δ₃ > 0 , то система устойчива

6.3.Критерий Михайлова

Характеристический полином замкнутой САУ :

D(s) =

Подставим S=j*ω и определим действительную и мнимую части :

D(j*ω) = ==

= ,тогда

U(ω) = Re D(j*ω) =

V(ω) = Im D(j*ω) =

ω	U(ω)	V(ω)
0	3,9	0
1	3,4	0,96
2	1,9	1,7
3	-0,6	1,92
5	-8,6	0
∞	-∞	-∞

Годограф Михайлова

Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова, начинаясь при ω=0 на вещественной положительной полуоси, с ростом частоты ω от 0 до ∞ обходил последовательно в положительном направлении n квадрантов комплексной плоскости.

В нашем случае годограф начинается положительной вещественной полуоси, и проходит последовательно 3 квадранта и в последнем уходит в бесконечность, следовательно система устойчива

6.4.Критерий Найквиста

Критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ разомкнутой системы :

W_p(s) =

Выясняем устойчивость разомкнутой системы по критерию Гурвица, согласно с которым необходимо, чтобы все коэффициенты харак-го уравнения были положительны и а₁*а₂ – а₃*а₀>0.

Где

а₁= 0,5 ; а₂=1 ; а₃=0 ; а₀=0,04

т.к. 0,5*1 – 0,04*0 > 0 , то замкнутая система устойчива

Найдем АФЧХ разомкнутой системы:

W(j*ω) = = =

= =

W(j*ω) =

U(ω) = Re W(j*ω) =

V(ω) = Im W(j*ω) =

ω	U(ω)	V(ω)
0	-∞	-∞
1	-1,7	-3.175
5	-0,31	0
10	-0.057	0.034
20	-0,005	0,009
∞	→ 0	→ 0

Годограф Найквиста

Для того, чтобы САУ, устойчивая или нейтральная в разомкнутом состоянии, была устойчивой в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы, при изменении частоты ω от 0 до ∞, не охватывал точку с координатами {-1,j0} на комплексной плоскости.

В нашем случае система устойчива в разомкнутом состоянии и годограф АФЧХ не охватывает точку {-1,j0}, следовательно, система устойчива.

Определение устойчивости по ЛАЧХ

Рассматривается разомкнутая система :

U(ω) = Re W(j*ω) =

V(ω) = Im W(j*ω) =

Найдем АЧХ :

A(ω) = = = >

A(ω) =

Найдем ФЧХ :

φ(ω) = arctg () = arctg()

Найдем ЛАЧХ системы :

L(ω) = 20*lg(A(ω)) = 20*lg(3,9) – 10*lg()

ω	L(ω), Дб	φ(ω), град
0,01	51,8	89.714
0,1	31.814	87.136
1	11.133	62.488
10	-23.493	-30.964
100	-80.266	-82.857
1000	-140.22	-89.284

Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ

Логарифмический критерий устойчивости : для того, чтобы замкнутая система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы частота, при которой ЛФЧХ пересекает линию φ = -π, была больше частоты среза.По графику видно, что частота, при которой ЛФЧХ пересекает линию φ = -π, больше частоты среза, следовательно, система устойчива.