3.4. Преобразование неоднозначной а-грамматики к однозначной

Неоднозначную А-грамматику можно преобразовать к однозначной, расширив допустимые виды порождающих правил, а именно, наряду с правилами видов A → aB и A → a, разрешив правила вида A → λ, т.е. разрешив порождение пустой цепочки в правой части.

Пусть задана неоднозначная А-грамматика. Вначале все правила вида A → a заменим правилами A → aF, где F – новый нетерминал, и добавим правило F → λ. Порождаемый преобразованной грамматикой язык при этом не изменится.

В неоднозначной грамматике имеется по крайней мере одна группа правил вида:

A → aB₁ | … | aB_n. (*)

Обозначим B’ = {B₁, …, B_n}, т.е. новый нетерминал B’ соответствует множеству B₁, …, B_n нетерминалов. Вместо группы правил (*) включим в грамматику правило:

A → aB’, (**)

а для всех порождающих правил вида:

B₁ → α₁, …, B_n → α_n (***)

добавим правила:

B’ → α₁ | … | α_n . (****)

Если в грамматике имеется (или появится после преобразования) еще одна группа правил вида (*), то с ней проделаем аналогичные преобразования, и так до тех пор, пока не останется ни одной группы правил вида (*). После каждого такого преобразования язык не изменяется, поэтому язык не изменится и после всех этих преобразований. При этом получившаяся грамматика будет однозначной.

Заметим также, что после каждого такого преобразования в грамматике появляется еще один новый нетерминал и несколько новых порождающих правил. При этом все новые нетерминалы по сути являются подмножествами первоначально заданного множества нетерминалов. Т.е. если вначале было k нетерминалов, то в преобразованной грамматике их будет меньше, чем 2^k. Правда, при большом числе k количество нетерминалов может оказаться чрезмерно большим.

Таким способом можно преобразовать любую неоднозначную А-грамматику, сохранив порождаемый ею язык. Отсюда следует, что все автоматные языки однозначны.

Заметим, что в преобразованной грамматике появится одно или несколько правил с пустой правой частью: F → λ. При построении КА по этой грамматике каждое правило грамматики вида F → λ необходимо заменить правилом F → _┴., а каждому из нетерминалов F должно соответствовать свое заключительное состояние.

Пример 3. А-грамматика задана правилами:

S → 0A| 1A, A → 0A| 1A| 0 | 1.

Здесь нетерминал S – начальный. Цепочки языка, порождаемого этой грамматикой, будут состоять из последовательностей нулей и единиц длиной не менее чем 2.

После преобразования правил A → 0 | 1 грамматика будет следующей:

S → 0A| 1A, A → 0A| 1A| 0F | 1F, F → _┴.

Из-за правил A → 0A| 1A| 0F | 1F грамматика неоднозначна, поэтому обозначим: B = {A, F}. После всех изменений грамматика будет следующей:

S → 0A| 1A, A → 0 B| 1B, B → 0B | 1B | _┴ , F → _┴ .

В полученной грамматике правило F → _┴ бесполезно, т.к. при любом порождении, начинающемся с нетерминала S нетерминал F не может появиться в конце цепочки и это правило никогда не будет применено. Поэтому из грамматики правило F → _┴  и нетерминал F необходимо удалить. После этого можно построить табл. 3 с правилами перехода ДКА. Заметим также, что состояние B здесь будет заключительным.

Табл. 3

	0	1	┴
S	A	A
A	B	B
B	B	B	B

Если на входе этого КА будет цепочка 010_┴, то его состояния в процессе работы будут изменяться следующим образом: S, A, B, B, B. Так как цепочка прочитана вся и ДКА находится в заключительном состоянии, то такая входная цепочка считается распознанной, т.е. она принадлежит языку. При входной цепочке 0_┴ на втором шаге из состояния A возникнет тупик: для состояния A и входного символа _┴ перехода не задано. Это значит, что такая цепочка не принадлежит языку.

Конец примера.