БАЛАКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ТЕХНИКИ, ТЕХНОЛОГИИ И УПРАВЛЕНИЯ

ФАКУЛЬТЕТ ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ

КАФЕДРА УИТ

Расчетно-графическая работа №2

по дисциплине

Теория автоматического управления

Исследование устойчивости нелинейных систем автоматического управления

Выполнил ст. гр. УИТ-41

Сербаев В.В.

Принял доцент каф. УИТ

Скоробогатова Т.Н. _______

“______” ___________2003

2003

СОДЕРЖАНИЕ

1 Техническое задание 3

2 Упрощение структурной схемы 3

3 Построение фазового портрета 5

4 Анализ устойчивости 6

Вариант № 44

1 Техническое задание

Задана система автоматического регулирования (рисунок 1) с наличием нелинейного элемента.

Рисунок 1

Где: W₁(p)=38; W₃(p)=0.74; W₄(p)=0.74; W₅(p)=; W₆(p)=;

W₇(p)=; W₈(p)=; W₉(p)=16.3; W₁₀(p)=; W₁₁(p)=2; W₁₂(p)=p.

График, описывающий нелинейный элемент NLE приведен на рис. 2

y

20

-2 0

2 x

-20

Рисунок 2

2 Упрощение структурной схемы

Упростим схему до состояния рисунок 3

Рисунок 3

Обозначение: W₁₃(p)=W₁₁(p)*W₃(p)-W₄(p); W₁₄(p)=W₁₂(p)*W₈(p)+W₅(p)+W₆(p)-W₇(p)

Продолжим упрощение, разделяя линейную и нелинейную части.

Объединим элементы W₁₃(p) и W₁₄(p) (рисунок 4)

Рисунок 4

Обозначения: W₁₅(p)=W₁₃(p)*W₁₄(p)

Внесем звено W₉(p) в цепь ООС и получим (рисунок 5).

Рисунок 5

Разорвем цепь перед нелинейным элементом и получим схему (рисунок 6)

Рисунок 6

В цепи рисунка 6 можно четко выделить линейную и нелинейную части, преобразуем (рисунок 7).

Рисунок 7

Обозначения: W₁₆(p)=W₁₅(p)W₁₀(p)W₁(p).

Насильственно замкнем данную цепь единичной ООС (рисунок 8)

Рисунок 8

Запишем общую передаточную функцию линейной части:

Подставляя значения передаточных функций звеньев, получим:

3 Построение фазового портрета

Передаточную функцию можно записать в виде или , подставляя в эту формулу значение передаточной функции получим:

Приведенную формулу можно записать в виде:

Воспользуемся пакетом MathCad для решения этого дифференциального уравнения.

Введем замену pⁱx=y_i и исключим из правой части уравнения производную

Получим систему уравнений для участков (-∞;-2), (-2;2) и (2;+∞):

Создадим матрицу для решения дифференциального уравнения:

В данной матрице реализовано условие перехода от одного уравнения к другому. Зададим матрицу начальных условий:

Возьмем количество точек равным 1000 и конечное время интегрирования 100, то матрица решений запишется как: .

По введенным данным получим фазовый портрет (рисунок 9).

Рисунок 9

4 Анализ устойчивости

На рисунке 9 представлен фазовый портрет нелинейной системы. Это типовой вид кривой. До перехода через точку -2 работает первое уравнение системы, при переходе через эту точку начинает работать второе уравнение. Третье уравнение работает при переходе через точку 2. Характер фазовой линии такой, что она постоянно приближается к началу координат, т.е. нелинейная система с релейным элементом устойчива. При движении к состоянию устойчивости амплитуда колебаний постоянно уменьшается, а частота переключения растет. Получаем, что амплитуда колебаний в итоге примет нулевое значение, а частота колебаний станет бесконечно большой.

6