3.10. Вычисление полной и средней кривизн поверхности.

Рассматриваем регулярную поверхность в окрестности точки . Дифференциалы , из (3.7.1) подставим в выражение (3.6.4) для нормальной кривизны поверхности. После сокращение на приходим к равенству

.

Отсюда получаем

.

Дифференцируем это равенство по и по :

Главные направления в касательной плоскости определяются этой систе­мой уравнений, если она имеет ненулевые решения, т.е. в случае .

.

Значение определителя

.

Главные кривизны , есть корни выписанного уравнения. Воспользу­емся теоремой Виетта:

, .

Полная и средняя кривизны поверхности найдены без вычисления главных кривизн.

Практическая часть.

4.Кривая.

Кривая задана следующим образом:

Найдем производные первого, второго и третьего порядков.

4.1.Найдем уравнение касательной по формуле:

Возьмем =0;

Найдем производную

При подставлении в получим точку Р =(0,0,0);

При подставлении в получим точку =(3,0,3);

Составим уравнение касательной для кривой :

4.2.Найдем уравнение нормальной плоскости для кривой по формуле:

Подставляя уже найденные ранее данные, получаем:

4.3.Найдем уравнение соприкасающейся плоскости по формуле:

Раскроем определитель по первой строке

-+=0;

Примем

Подставим значения в уравнение соприкасающейся плоскости:

Уравнение соприкасающейся плоскости имеет вид:

8x+6y-3z-1=0.

4.4.Сосчитаем кривизну кривой по следующей формуле:

Подставляя ранее полученные значения производных первого и второго порядков в основную формулу нахождения кривизны кривой в координатах, получим нужную нам кривизну. Из-за сложности в подсчетах разделим вычисление на несколько этапов:

1. Вычисление числителя без извлечения корня

Приведем подобные слагаемые и извлечем корень из получившегося выражения:

2)Вычисление знаменателя без извлечения корня.

Извлечем корень

Подставим все в итоговую формулу

4.5.Вычислим кручение кривой :

Примем t=0;

Получим .

4. 6. Изображение кривой.

5. Поверхность.

Поверхность задана следующим образом:

Вычислим производные:

5.1. Найдем уравнение касательной плоскости, используя формулу:

.

Подставляя в нее значения производных, получим:

.

Раскроем определители и получим общее уравнение искомой поверхности:

Найдем уравнение касательной плоскости в конкретной точке:

Выберем произвольную точку Р(1,2,1).

Зададим u=1,v=;

Примем a=2,k=;

Подставляя в формулу, получим:

5.2. Найдем уравнение нормали для искомой поверхности.

Раскроем определители:

Подставляя уже найденные ранее производные и приводя подобные слагаемые, получим:

Найдем уравнение нормали в конкретной точке:

Выберем произвольную точку Р (1,1,2).

Зададим a=2 ,k=, u=1,v= ;

Подставим заданные значения в уравнение:

5.3.Вычисление первой квадратичной формы.

Найдем частные производные:

Вычисляем коэффициенты первой квадратичной формы поверхности:

Детерминант первой квадратичной формы:

.

Корень из детерминанта первой квадратичной формы:

.

Первая квадратичная форма имеет вид:

Подставим получившиеся значения в эту формулу и получим