3.7. Индикатриса кривизны.

В точке поверхности рассматриваем касательную плоскость . Во всех направлениях в точке в и в к линиям на проводим касательную прямую , она лежит в плоскости . Вектор касательной

выписан выше, в п. III.6. В каждом направлении от точки откладывается отрезок

.

В репере касательной плоскости обозначим . Тогда

.

Так как векторы , неколлинеарны, то

, . (3.7.1)

Выражения и через и подставим в формулу (3.6.3) нормальной кривизны поверхности

,

откуда получаем

.

Линия, определяемая этим уравнением, называется индикатрисой кривизны в точке или индикатрисой Дюпена, и является центральной линией второго порядка – это либо эллипс, либо две сопряженные гиперболы, либо пара параллельных прямых. Значение детерминанта индикатрисы определяет вид индикатрисы.

3.8. Классфикация обыкновенных точек поверхности.

Точки регулярной поверхности различаются по виду индикатрисы кривизны поверхности в этих точках. Возможны следующие случаи.

1. . Детерминант индикатрисы положителен, индикатриса является эллипсом. Точка называется эллиптической. Касательная плоскость в точке имеет с поверхностью одну общую точку - точку ;

2. . Индикатриса есть пара гипербол. Точка называется гиперболической. Касательная плоскость пересекается с поверхностью по двум прямым - асимптотам гипербол;

(в) . Индикатриса есть две параллельные прямые. Точка называется параболической. Касательная плоскость пересекает поверх­ность по прямой.

(г) . Индикатриса превращается в точку. называется точкой уплощения. В этой точке по всем направлениям . Если - плоскость, то всякая ее точка есть точка уплощения.

Направление на поверхности называется асимптотическим, если нормальная кривизна поверхности в этом направлении равна нулю: . В асимптотическом направлении касательная плоскость к поверхности пе­ресекается с поверхностью по прямой. Из предыдущего видно, что в эл­липтической точке асимптотических точек нет (а), в гиперболической точке имеется два асимптотических направления (б), в параболической точке - одно асимптотическое направление (в); в точке уплощения всякое направление является асимптотическим (г).

3.9. Главные кривизны на поверхности.

Относительно линий второго порядка на плоскости определены сопряженные направления. У эллипса (гиперболы, параболы, пары прямых) середины семейства параллельных хорд коллинеарны. Направления на плоскости, определяемые хордами и серединами параллельных хорд называются сопряженными. Взаимно перпендикулярные сопряженные направления называются главными. Относительно всякой линии второго порядка на плоскости существует или единственная пара главных направлений, или для любого направления имеется перпендикулярное сопряженное направление - как относительно окружности.

Индикатриса Дюпена в касательной плоскости поверхности в точке касания определяет главные направления. Кривизны нормальных сечений поверхности в главных направлениях называются главными кривизнами. Их обозначение: , . Произведение

называется полной или гауссовой, кривизной поверхности в данной точке - в точке, где вычисляются коэффициенты квадратичных форм поверхности и рассматривается касательная плоскость. Полусумма

называется средней кривизной поверхности в точке .