II.12. Прямая, окружность, винтовая линия.

Выше, в п. 2.7, установлено, что кривизна прямой линии равна нулю, также и кручение ее равно нулю:

.

Рассмотрим окружность радиуса :

.

Находим: ; ,

.

Кривизна окружности постоянна и обратна ее радиусу. Кручение , т.к. линия плоская, п. 2.7.

Винтовая линия задается уравнениями

.

Она намотана на круглый цилиндр радиуса и шаг линии равен . Вы­числения дают: ; ,

; . , .

_k = r x r | = a _k = r r r = b

Кривизны винтовой линии постоянны.

2.13. Задание кривой функциями кривизны и кручения.

Оказывается, имея функции кривизны и кручения

и

и формулы Френе, п. 2.10, можно получить векторное задание кривой в некотором репере пространства. Функции кри­визны и кручения называются натуральными уравнениями кривой. Этих функций две, а определяются три функции , , . Зависимости между векторами подвижного репера кривой и производными этих векторов позволяет найти компоненты функции по функциям и

. Кривая натуральными уравнениями определяется с точностью до положения в пространстве.

2.14. Линии постоянных кривизн.

Евклидово пространство обладает только следующими линиями, имеющими постоянную кривизну и постоянное кручение :

1. прямая , ;

2. окружность , , ;

3. винтовая линия , ,

2.15. Строение кривой вблизи обыкновенной точки.

Пусть точка регулярной плоской кривой . Если кривизна кривой в точке равна нулю, то в малой окрестности этой точки линия есть отрезок прямой. Если в точке кривизна , то в малой окрестности этой точки есть дуга окружности радиуса .

Рассмотрим пространственную кривую в сопровождающем репере . Если в точке кривой , то кривая плоская и она описана выше, п. II.10. Пусть , в точке и пусть близкая к точке точка кривой . Для малого дугу можно заменить вектором . Имеется разложение в ряд Тейлора

,

производные , , вычислены в точке , - слагаемое более высокого порядка малости, чем . В п. 2.11 выписаны выражения векторов производных в сопровождающем репере кривой

, , .

Подставим эти выражения в разложение и напишем разложение в базисе :

В таблицах ниже показано, как изменяются знаки проекций вектора на векторы репера при перeходе точки через точку , т.е. при изменении знака с на .

Кривая в окрестности точки при проектируется сначала на вектор , затем на вектор ; проектируется только на вектор и проектируется сначала на вектор , затем на вектор . Значит, при кривая в окрестности точки закручивается правым винтом. При кривая в окрестности точки закручивается левым винтом.