2. Теория кривой.

2.2. Регулярная кривая.

Задано отображение интервала действительной оси в 3 мерное евклидово пространство. Интервал может совпадать с . Требуется, чтобы отображение было взаимно однозначным и взаимно непрерывным, т.е. - гомеоморфизм. В отображении всякому значению соответствует точка . В пространстве введен ортонормированный репер , точка имеет координаты в репере . С изменением значения на интервале изменяются координаты точки , они являются функциями параметра . Три функции координат точки в рассматриваемом порядке составляют векторную функцию

.

Образ отрезка в отображении называется кривой евклидова пространства. Кривая есть множество точек

.

Указанное множество точек называется еще годографом векторной функции .

Если непрерывна и , то кривая называется гладкой в окрестности точки . Если кроме того, существуют производные векторной функции до порядка включительно, то кривая в окрестности точки называется регулярной класса . Точка кривой, в окрестности которой кривая регулярная, называется обыкновенной.

Далее рассматриваем регулярные класса кривые, интервал считаем окрестностью точки этого интервала, , существуют , , векторы , неколлинеарны.

2.2. Длина дуги. Естественный параметр кривои.

Из анализа известно, что длина дуги кривой на интервале равна

Зафиксируем точку , точку считаем изменяющейся. Имеем функцию

,

это функция положительная, т.к. , и монотонно возрастающая. Подынтегральное выражение есть дифференциал дуги

. (2.2.1.)

Функция непрерывна и монотонна, поэтому она обратима. Существует функция , тоже непрерывная и монотонная. Обе функции и дифференцируемы одинаковое число раз.

2.2.1. ЛЕММА. Вектор производной векторной функции по длине дуги этой функции является единичным.

# Равенство (2.2.1.) записываем в виде

. (2.2.2.)

Рассматриваем сложную функцию . Ее производная такова:

.

Здесь мы воспользовались правилом дифференцирования обратной функции: и равенством (2.2.2). Теперь найдем модуль вектора .

,

следовательно, . #

Заменим параметризацию кривой , вместо параметра подставим его функцию от

.

Интервал задания функции обозначаем , хотя он отличается от интервала значений параметра . Параметризация векторной функции, задающей кривую в , длиной дуги этой кривой, называется естественной, это параметризация

,

называется естественным параметром кривой. Обозначения производных по параметру и т.д.

Лемму 2.2.1. сформулируем в следующем виде.

2.2.2. ЛЕММА. Вектор первой производной векторной функции в естественной параметризации имеет постоянную единичную длину:

. #

2.2.3. ЛЕММА. Вектор производной вектора постоянного модуля перпендикулярен этому вектору.

# Выполняется . Продифференцируем равенство , а это означает . #

2.3. Касательная прямая и нормальная плоскость кривой.

Вектор является вектором касательной кривой в точке . Обозначим точку кривой , соответствующую значению параметра , через , т.е. . Плоскость, проходящая через точку кривой и перпендикулярная вектору , называется нормальной плоскостью кривой в точке . По вектору и точке запишем уравнения касательной прямой и нормальной плоскости кривой :

;

.

2.3.1. ТЕОРЕМА. Положение касательной прямой кривой в каждой ее точке не зависит от параметризации кривой.

# Пусть – произвольная параметризация кривой, есть естест­венная параметризация и пусть . Тогда , т.е. векторы и коллинеарны. Обозначим . Прямые , совпадают. #

Единичный вектор касательной обозначается через .