5 Висновок

Теоретичні відомості

Основні формули комбінаторики

Вид вибірки	Без повторів	З повторами
Перестановки		,
Розміщення
Комбінації

Практичні завдання

ВАРІАНТ 1

1 Під час дослідження читацьких смаків студентів виявилось, що 60% читають журнал А, 50% - журнал В, 50% - журнал С, 30% - журнал А і В, 20% - журнал В і С, 40% - журнал А і С, 10% - журнал А, В і С. Скільки відсотків студентів: а) не читає жодного журналу; б) читає тільки 2 журнали; в) читає не менше двох журналів?

2 Розклад на день містить 5 уроків. Визначити кількість таких можливих розкладів при виборі з 11 дисциплін за умови, що жоден предмет не стоїть у розкладі двічі на день.

3 На площині дано три точки: А, В, С. Проведемо через точку А - т прямих, через В - п прямих, через С - р прямих. Причому в сукупності ці прямі є прямими загального положення, тобто жодні дві з них не паралельні і жодні три не перетинаються в одній точці (крім точок А, В, С, але нема прямих, що проходять через дві з цих трьох точок). Знайти кількість трикутників, вершини яких є точками перетину цих прямих і не збігаються з точками А, В, С.

4 На футбольний турнір треба послати збірну команду в складі: тренер, його помічник, 2 асистенти, 20 футболістів, лікар і 2 масажисти. Тренерський склад може бути відібраний з 10 спеціалістів, футболісти - з 25 спортсменів, лікаря треба вибрати одного з трьох, а масажистів - двох з п'яти. Скількома способами може бути укомплектована така команда?

5 Із цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 утворюють різні п'ятицифрові числа, що не мають однакових цифр. Визначити кількість чисел, в яких зустрічаються цифри 7,8,9 одночасно.

6 Скільки п’ятицифрових чисел можна утворити з дев’яти цифр 1, 2, 3, 4, 5,6,7, 8, 9?

7 Скільки слів можна отримати, якщо переставляти букви у слові “математика”?

8 Скільки наборів із 7 тістечок можна скласти, якщо у продажу є їх 4 сорти?

ВАРІАНТ 2

1 На одній з кафедр університету працює 13 чоловік, кожен з них знає хоча б одну іноземну мову. 10 чоловік знають англійську, 7 – німецьку, 6 – французьку, 5 - англійську та німецьку, 4 – англійську та французьку, 3 – німецьку та французьку. Скільки чоловік: а) знають всі три мови; б) знають тільки дві мови; в) знають лише англійську?

2 Команда з п'яти чоловік виступає на змаганнях, у яких бере участь ще 20 спортсменів. Скількома способами можуть бути розподілені місця, зайняті членами цієї команди, за умови, що жодне з них не може бути поділено?

3 Садівник протягом трьох днів має посадити 10 дерев десяти різних порід. Скількома способами він може розподілити за днями свою роботу, якщо буде висаджувати не менше одного дерева в день?

4 Ліфт, у якому знаходяться 9 пасажирів, може зупинятись на десяти поверхах. Пасажири виходять групами по два, три і чотири чоловіки. Скількома способами вони можуть вийти, якщо ліфт не повертається на поверх, де він уже був ?

5 Десятьох тенісистів мають розподілити на групи по 2,3 і 5 спортсменів для поїздки на три турніри, які обираються з 6 можливих. Скількома способами це можна зробити?

6 Скількома способами можна розділити 6 різних цукерок між трьома дітьми?

7 Скількома способами можна розкласти 28 різних предметів у чотири шухляди, так, щоб у кожній з них опинилося по 7 предметів?

8 У поштовому відділенні продаються листівки 10 сортів. Скількома способами можна купити в ньому 12 листівок?

ВАРІАНТ 3

1 У класі навчається 35 чоловік. Усі вони у вільний час або плавають у басейні, або грають на скрипці, або працюють у ботанічному саду. 25 з них займаються плаванням та ботанікою, а 5 до того ж ще й музиканти. Чемпіон класу з плавання не грає на скрипці і не любить ботаніку, а два його товариша-ботаніки не вміють плавати, але добрі скрипалі. Серед скрипалів є 7 чоловік, які не плавають і не працюють у ботанічному саду. Скільки в класі скрипалів? Скільки чоловік відвідують басейн? Скільки ботаніків не цікавляться ні плаванням, ні музикою?

2 Скільки різних правильних дробів можна скласти з чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 так, щоб у кожний дріб входило два числа ?

3 У речовій лотереї розігрується 8 предметів. Усього в "урні" 50 квитків. Виймається 5 квитків. Скількома способами їх можна вийняти так, щоб: а) тільки два з них були виграшні; б) принаймні два з них були виграшні?

4 Із 8 тенісистів і 6 тенісисток формуюють три змішані пари (до пари входять по одному тенісисту і одній тенісистці). Скількома способами це можна зробити ?

5 У вищій лізі чемпіонату України з футболу грають 16 команд. Скільки існує способів розподілення І, II та III місця і двох команд, які перейдуть у першу лігу (дві останні команди) ?

6 Скількома способами можна розташувати 12 різних деталей у трьох ящиках?

7 У мами було 2 яблука, 3 груші та 2 апельсини. Кожен день вона давала дитині по одному фрукту. Скількома способами вона могла це зробити?

8 Скільки існує трикутників, довжини сторін яких мають одне з таких значень: 4, 5, 6, 7 см?

ВАРІАНТ 4

1 У класі навчається 40 чоловік. Із них мають трійки з англійської мови 19 учнів, з математики – 17, з фізики – 22, мають трійки лише з одного предмета: з фізики – 11, з англійської – 4, з математики – 4. 7 чоловік мають трійки і з математики, і з фізики, з них пятеро має трійки і з англійської мови. Скільки чоловік навчаються без трійок? Скільки чоловік мають лише по дві трійки?

2 Скільки можна скласти різних неправильних дробів, чисельниками і знаменниками яких є числа 3,5,7,13,17?

3 З лабораторії, у якій працює 25 чоловік, 5 співробітників мають поїхати у відрядження. Скільки може бути різних складів цієї групи, якщо начальник лабораторії, його замісник і головний інженер одночасно їхати не можуть ?

4 У турнірі беруть участь 12 шахістів. Визначити кількість різних розкладів першого туру (розклади вважаються різними, якщо вони відрізняються учасниками хоча б однієї партії; колір фігур та номер столу не враховуються).

5 Для привітання дівчат зі святом, яких у класі 10 , хлопці вирішили купити 10 різних книг з 15, які запропонувало видавництво "Факт". Скільки існує різних способів отримання подарунків дівчатами ?

6 У деякому казковому королівстві не було двох громадян з однаковим комплектом зубів. Якою могла б бути найбільша кількість мешканців цього королівства, якщо у людини 32 зуба?

7 Скількома способами можна переставити букви в слові “обороноздатність”, щоб дві букви “о” не стояли поряд?

8 Скільки можна побудувати різних прямокутних паралелепіпедів, довжини ребер яких виражаються натуральними числами від 1 до 10?

ВАРІАНТ 5

1 Підлога кімнати площею 12 м² вкрита 3 килимами: площа одного килима 5 м², другого - 4м², третього - 3м². Кожні 2 килими перекривають один одного на площі 1,5 м², до того ж 0,5м² з них припадає на ділянку підлоги, де перекриваються всі 3 килими. Яка площа підлоги, що не вкрита килимами? Яка площа ділянки, вкритої одним лише першим килимом?

2 На десяти картках записані цифри 0,1,2,3,. ..,9 (на кожній картці - по одній цифрі). Беруть чотири картки і складають із цифр, записаних на них, чотирицифрове число. Скільки різних чотирицифрових чисел можна отримати таким чином ?

3 Із групи, до складу якої входять 7 хлопчиків і 4 дівчини, треба сформувати команду з 6 чоловік так, щоб вона мала не менше двох дівчаток. Скільки існує способів сформувати таку команду ?

4 На футбольний турнір треба послати збірну команду в складі: тренер, його помічник, 2 асистенти, 20 футболістів, лікар і 2 масажисти. Тренерський склад може бути відібраний з 10 спеціалістів, футболісти - з 25 спортсменів, лікаря треба вибрати одного з трьох, а масажистів - двох з п'яти. Скількома способами може бути укомплектована така команда?

5 3 цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 утворюють різні п'ятицифрові числа, що не мають однакових цифр. Визначити кількість чисел, у яких зустрічаються цифри 6 та 8 одночасно.

6 Скільки шестицифрових чисел можна утворити з дев’яти цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6,7,8, 9?

7 Скільки слів можна утримати, якщо переставляти букви у слові “мисливство”?

8 Скільки наборів з 10 тістечок можна скласти, якщо у продажу є їх 6 сортів?

ВАРІАНТ 6

1 На базі відпочинку знаходиться 70 чоловік. З них 27 займаються в драматичному гуртку, 32 співають в хорі, 22 захоплюються спортом. Драмгурток уідвідують 10 чоловік з хора, а хор - 6 спортсменів, у драмгуртку 8 спортсменів, 3 спортсмени займаються і у драмгуртку і в хорі. Скільки чоловік не співають у хорі, не захоплюються спортом та не займаються у драмгуртку? Скільки чоловік зайняті лише спортом?

2 Скільки різних натуральних чисел можна скласти з цифр 0,1,2,3,4, щоб у кожному такому числі кожна з цих цифр зустрічалася не більше одного разу ?

3 У вазі стоять пронумеровані 10 червоних і 5 рожевих гвоздик. Скількома способами можна вибрати з вази: а) три квітки; б) три квітки одного кольору; в) три квітки, але так, щоб серед них були як червоні, так і рожеві гвоздики ?

4 Ліфт, у якому знаходяться 9 пасажирів, може зупинятись на десяти поверхах. Пасажири виходять групами по два, три і чотири чоловіки. Скількома способами вони можуть вийти, якщо ліфт не повертається на поверх, де він уже був ?

5 Десятьох тенісистів мають розподілити на групи по 2,3 і 5 спортсменів для поїздки на три турніри, які обираються з 7 можливих. Скількома способами це можна зробити ?

6 Скількома способами можна розділити 6 різних цукерок між трьома дітьми?

7 Скількома способами можна розкласти 28 різних предметів по чотирьох ящиках, так, щоб в кожному з них опинилося по 7 предметів?

8 У поштовому відділенні продаються листівки 10 сортів. Скількома способами можна купити в ньому 12 листівок?

ВАРІАНТ 7

1 Якщо відомо, що кожний учень у школі вивчає хочаб одну із вказаних 3-х мов, знайдіть загальну кількість учнів у школі. Вивчають англійську - 28 учнів, французьку - 23 учні, німецьку - 23 учні, англійську та французьку - 12 учнів, англійську та німецьку - 11 учнів, французьку та німецьку - 8 учнів, всі 3 мови вивчають 5 учнів.

2 Скільки різних чотирицифрових чисел можна скласти з цифр 0,1,2,3,4,5,6,7 так, щоб у кожному з них була цифра 1 ? (Цифри в числі не повинні повторюватися).

3 Збори, на яких присутні 40 чоловік, обирають голову, секретаря і трьох членів комісії. Скількома способами це можна зробити ?

4 Із 9 тенісистів і 7 тенісисток формують три змішані пари (до пари входять по одному тенісисту і одній тенісистці). Скількома способами це можна зробити ?

5 У вищій лізі чемпіонату України з футболу грають 16 команд. Скільки є способів розподілення І, II та III місця і двох команд, які перейдуть у першу лігу (дві останні команди) ?

6 Скількома способами можна розташувати 12 різних деталей у трьох ящиках?

7 У мами було 2 яблука, 3 груші та 2 апельсини. Кожен день вона давала дитині по одному фрукту. Скількома способами вона могла це зробити?

8 Скільки існує трикутників, довжини сторін яких мають одне з таких значень: 4, 5, 6, 7 см?

ВАРІАНТ 8

1 У спортивному клубі займаються 38 чоловік. З них 16 грають у баскетбол, 17 – у хокей, 18 – у волейбол. Баскетболом і хокеєм захоплюються 4 чоловіки, баскетболом і волейболом – 3, волейболом і хокеєм – 5. Троє захоплюються фігурним ковзанням. Скільки чоловік захоплюються одночасно хокеєм, волейболом і баскетболом? Скільки чоловік захоплюються лише одним із цих видів спорту?

2 Для учнів класу було куплено 2п білетів у театр на місця, що знаходяться в одному ряду (на якому 2п місць). Скільки є способів розподілу цих білетів між учнями (п хлопців та п дівчат), щоб два хлопця або дві дівчини не сиділи поруч ?

3 Скільки п'ятицифрових чисел можна утворити з цифр 2, 3, 6, 7, 8 (без повторення) так, щоб парні цифри не стояли поруч ?

4 У турнірі беруть участь 12 шахістів. Визначити кількість різних розкладів першого туру (розклади вважаються різними, якщо вони відрізняються часниками хоча б однієї партії; колір фігур та номер столу не враховуються).

5 Для привітання дівчат зі святом, яких у класі 12, хлопці вирішили купити 12 різних книг з 25, які запропонувало видавництво "Факт". Скільки є різних способів отримання подарунків дівчатами ?

6 У деякому казковому королівстві не було двох громадян з однаковим комплектом зубів. Якою могла б бути найбільша кількість мешканців цього королівства, якщо у людини 32 зуба?

7 Скількома способами можна переставити букви в слові “охорона”, аби дві букви “о” не йшли поряд?

8 Скільки можна побудувати різних прямокутних паралелепіпедів, довжини ребер яких виражаються натуральними числами від 1 до 10?

ВАРІАНТ 9

1 Знайти кількістьт цілих додатних чисел, що не більше 1000 і не діляться на жодне з чисел 3, 5 і 7.

2 На книжковій полиці вміщується тридцять томів енциклопедії. Скількома способами їх можна розставити так, щоб: а) томи 1 і 2 стояли поруч; б) томи 3 і 4 не стояли поруч ?

3 Скількома способами можна вибрати трьох чергових із класу, у якому навчається 20 учнів ?

4 На футбольний турнір треба послати збірну команду в складі: тренер, його помічник, 2 асистенти, 22 футболісти, лікар і 3 масажисти. Тренерський склад може бути відібраний з 10 спеціалістів, футболісти - з 30 спортсменів, лікаря треба вибрати одного з трьох, а масажистів - трьох з п'яти. Скількома способами може бути укомплектована така команда?

5 3 цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 утворюють різні п'ятицифрові числа, що не мають однакових цифр. Визначити кількість чисел, у яких зустрічаються цифри 5, 3, 4 одночасно.

6 Скільки трицифрових чисел можна утворити з дев’яти цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

7 Скільки слів можна отримати, якщо переставляти букви у слові “бібліотека”?

8 Скільки наборів з 15 тістечок можна скласти, якщо у продажу є їх 6 сортів?

ВАРІАНТ 10

1 Зайти кількість цілих додатних чисел, що не більше 1000 і не діляться на жодне з чисел 6, 7 і 15.

2 Скільки різних кілець, що світяться, можна утворити, розмістивши по колу 10 різнокольорових лампочок (кільця вважаються однаковими, якщо порядок слідування кольорів один і той самий) ?

3 Скількома способами можна роздати 6 різних предметів трьом особам так, щоб кожна отримала по 2 предмети ?

4 Ліфт, у якому знаходяться 9 пасажирів, може зупинятись на десяти поверхах. Пасажири виходять групами по два, три і чотири чоловіки. Скількома способами вони можуть вийти, якщо ліфт не повертається на поверх, де він уже був ?

5 Десятьох тенісистів мають розподілити в групи по 2, 3 і 5 спортсменів для поїздки на три турніри, які обираються з 6 можливих. Скількома способами це можна зробити ?

6 Скількома способами можна розділити 6 різних цукерок між трьома дітьми?

7 Скількома способами можна розкласти 28 різних предметів по чотирьох ящиках, так, щоб у кожному з них опинилося по 7 предметів?

8 У поштовому відділенні продаються листівки 10 сортів. Скількома способами можна купити в ньому 12 листівок?

Список літератури

1. Дискретная математика для программистов / Ф.А. Новиков. – СПб.: Питер, 2001. – 304 с.

2. Ю.М. Бардачев та ін. Дискретна математика. –К: Вища школа, 2002 – 287 с.

3. Р.М.Трохимчик. Збірник задач з теорії множин і відношень. - 2-е видання, перероб. і доповн.- К.: РВЦ “Київський університет ”, 2000. - 80 с.

4. Лихтарников Л.М., Сукачева Т.Г., Математическая логика, Москва, "Лань", 1999. - 283 с.

5. Н.К. Верещагин, А. Щень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 2. Языки и исчисления.М.: МЦНМО, 2000 – 288 с.

6. Н.К. Верещагин, А. Щень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.М.: МЦНМО, 1999 – 128 с.

7. Гуц А.К. Математическая логика и теория алгоритмов: Учебное пособие. – Омск: Издательство Наследие, 2003. –108 с.

8. С.С. Шкільняк. Математична логіка і теорія алгоритмів: приклади і задачі. Навчальний посібник. К., 2000.-108 с.

9. И.А. Лавров, Л.Л. Максимова. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. . — 4-е изд. М., 2001. – 256 с.

10. Р.М.Трохимчук. Теорія графів. Навчальний посібник для студентів факультету кібернетики - К.: РВЦ “Київський університет”, 1998. - 43 с.

11. Ю.В.Капіносов та ін. Основи дискретної математики, К.: Наукова думка. – 2002 , - 579 с.

12. О. Оре. Теория графов. М.: «Наука», 1980, 336 с

13. Бабенко Н.В. Дискретна математика. Збірник методичних вказівок до практичних робіт. Запорізький електротехнічний коледж, 2011

14. Бабенко Н.В. Дискретна математика. Методичні матеріали до самостійної роботи. Запорізький електротехнічний коледж, 2011