Математична модель об’єкта

Розглянемо об’єкт із зосередженими параметрами - реактор змішування, який охолоджується рідиною, що циркулює з постійною витратою в охолоджувальній оболонці.

Показником ефективності роботи даного об’єкту є температура продукту (реагуючих речовин), а метою керування - підтримання цієї температури на певному заданому значенні.

Схема роботи реактора з регулятором температури приведена на рис.1.

Рис.1. Спрощена функціональна схема автоматизації (ФСА) регулювання температури в реакторі: 1 - реагуючі речовини; 2 - корпус реактора; 3 - холодоагент; 4 - давач температури; 5 - охолоджуюча оболонка; 6 - циркуляційний насос

Регулятор змінює кількість холодної води, яка подається в оболонку, при цьому, відповідно, змінюється кількість тепла, яка виділяється в результаті реакції. Об'єкт, який розглядається, характеризується тепловими ємностями: речовини в реакторі; стінок реактора; рідини, яка подається в охолоджуючу оболонку; давача вимірювальної системи регулятора; а також запізненням, яке пов’язане з циркуляцією охолоджуючої рідини.

Так як тепло, яке виділяється в реакторі, відводиться через його стінки охолоджуючою водою, то реагуючі речовини, стінки реактора і охолоджувальна рідина з точки зору їх ємнісних властивостей впливають одна на другу.

Визначення сталих часу. Сталі часу об’єкта регулювання температури можна знайти з рівняння теплового балансу системи в не усталеному режимі для кожної поверхні теплообміну.

Складемо рівняння теплового балансу для внутрішньої поверхні стінки реактора, приймаючи, що швидкість виділення тепла в реакторі постійна. Тепло, яке виділяється в результаті реакції, витрачається на нагрівання поверхні стінки реактора і на підвищення температури речовини.

Рівняння теплового балансу має вигляд:

, (1)

де - кількість теплоти, що виділяється в процесі реакції за одиницю часу, Дж/хв; - коефіцієнт тепловіддачі від речовини до стінки реактора Вт/(м²К); - поверхня теплообміну, м²; - температура реагуючих речовин в реакторі, К; - температура внутрішньої стінки реактора, К; - маса реагуючих речовин, кг; - питома теплоємність реагуючих речовин, Дж/(кгК).

Приведемо рівняння (1) до наступного вигляду:

. (2)

Коефіцієнт при першій похідній у рівнянні (2) є стала часу:

. (3)

Таким чином, передача тепла від реагуючих речовин до внутрішньої поверхні стінки реактора відбувається зі сталою часу T₁.

Якщо величина невідома, то її можна замінити виразом . Тоді можна знайти за рівнянням:

. (4)

і коефіцієнтом передачі в усталеному режимі , який рівний одиниці.

Передача тепла від внутрішньої поверхні стінки реактора до зовнішньої відбувається зі сталою часу :

, (5)

де - маса стінок реактора; - питома теплоємність стінок; - коефіцієнт теплопровідності матеріалу стінки, Вт/(мК); - товщина стінки, м; - температура зовнішньої поверхні стінки.

Тепло від зовнішньої поверхні стінки передається охолоджуючій рідині зі сталою часу:

, (6)

де - маса рідини в охолоджуючій оболонці; - питома теплоємність рідини в охолоджуючій оболонці; - коефіцієнт тепловіддачі від стінки реактора до охолоджуючої рідини; - середня температура охолоджуючого середовища.

Аналогічно можна розраховувати і сталу часу давача температури, але для більшості давачів є вже наперед визначені інерційності, значення яких встановлені в технічній документації.

Крім цього необхідно врахувати запізнення (транспортне або технологічне) яке є властивим для більшості теплових об’єктів.

При розрахунку сталої часу процесу змішування реакційної маси було прийнято, що остання знаходиться у стані ідеального змішування. Насправді, неможливо за безмежно малий проміжок часу реалізувати перенос рідини і тепла. До стінок реактора тепло передається як шляхом конвекції, так і за допомогою теплопровідності, причому останній спосіб діяв би у випадку нерухомої рідини. При аналізі цього об’єкта необхідно враховувати наявність як мінімум трьох теплових ємностей, які взаємодіють між собою, а наявність теплових опорів між ними приводить до виникнення технологічного часу запізнення, що значно погіршує перехідний процес у контурі. Крім того, кількість теплоти залежить від температури у реакторі, що зумовлює нелінійність процесу.

Наприклад, в об’єкті, який розглядається, час чистого запізнення  можна визначити як відношення об’єму охолоджувальної оболонки до швидкості циркуляції рідини в ній (об’ємної витрати) або маси рідини в охолоджувальній оболонці M₃ до швидкості циркуляції рідини в оболонці (масової витрати) F, кг/хв:

(7)

Визначення коефіцієнта передачі об’єкта. Вхідною величиною реактора є середня температура охолоджувального середовища _С, а вихідною - температура в реакторі . Останню регулюють зміною витрати свіжого холодоносія Fw, для цього необхідно пов’язати цю витрату з середньою температурою охолоджуючого середовища _С (в цьому випадку коефіцієнт передачі об’єкта буде визначатися відношенням зміни витрати свіжого холодоносія до зміни середньої температури циркулюючого охолоджуючого середовища). Тому до потоку циркулюючого охолоджувального середовища, витрата якого F-Fw при температурі c₂, додають свіжий холодоносій, витрата і температура якого відповідно дорівнює Fw і w. При цьому утворюється суміш рідини, яка повертається в сорочку реактора з витратою F і температурою c₁.

Для того, щоб пов’язати витрату охолоджувального середовища з її температурою, записуємо рівняння теплового балансу потоків при їх змішуванні:

. (8)

Звідки

, (9)

або, якщо представити праву частину цього рівняння через теплове навантаження:

. (10)

Приймаючи, що середня температура охолоджуючого середовища _С дорівнює середньоарифметичному значенню температур рідин, що входять і виходять, тобто , знайдемо значення _С2:

, (11)

звідси з врахуванням рівняння ( 9 ):

. (12)

Розв’язуючи останнє рівняння відносно _С, отримаємо:

. (13)

Коефіцієнт передачі об’єкта (динамічний коефіцієнт передачі об’єкта), який є відношенням зміни середньої температури циркулюючого охолоджуючого середовища до зміни витрати свіжого холодоносія, визначається шляхом диференціювання останнього рівняння:

(14)

Отримана залежність має нелінійний характер. Із зменшенням витрати до нуля динамічний коефіцієнт прямує до нескінченності. Якщо не використовувати спеціальні компенсуючі пристрої, така зміна коефіцієнта передачі приведе до серйозних утруднень, зокрема, під час пуску установки, коли витрата рідини мала. Таким чином, даний теплообмінний апарат є об’єктом з перемінним коефіцієнтом передачі. Крива перехідного процесу такого об’єкта аналогічна кривій клапана з нелінійною характеристикою або для клапана з лінійною характеристикою, що працює сумісно з трубопроводом. Наявність змінного коефіцієнта передачі компенсується достатньо легко. Коефіцієнт передачі об’єкта змінюється обернено пропорційно витраті охолоджуючого середовища, коефіцієнт передачі клапана з логарифмічною характеристикою - прямо пропорційно. Для компенсації цієї нелінійності необхідно на лінії додачі холодної води встановити регулюючий клапан з логарифмічною характеристикою, оскільки в цьому випадку коефіцієнт передачі об’єкта з клапаном, який рівний добутку цих двох коефіцієнтів, буде величиною постійною.

Приклад. Оцінимо сталі часу , і для реактора, який містить =18000 кг речовини з =3,35 кДж/(кгК). У результаті реакції виділяється Q=20935 кДж/хв тепла при 366 К і температурі стінки 349,5 К. Маса стінок реактора =3600 кг, їх питома теплоємність =0,63 кДж/(кгК), температурний градієнт =5,5 К. Маса рідини в охолоджуючій сорочці =2270 кг, її середня температура=328 К, =4,1868 кДж/(кгК), швидкість циркуляції рідини в оболонці (масова витрата)=1135 кг/хв.

хв.

хв.

хв.

Час чистого запізнення: =2 хв.

На рис. 2. приведено графік залежності середньої температури охолоджуючої води від її витрати для випадку, коли теплове навантаження постійне Q=20935 кДж/хв.

Рис. 2. Графік залежності середньої температури охолоджуючої води від її витрати при постійному навантаженні Q та постійній температурі свіжого холодоносія _W

Використовуючи графік приведений на рис.2 бачимо, що для отримання середньої температури охолоджуючого середовища _С=328 К витрата свіжого холодоносія F_W повинна бути 155 кг/хв. Тоді коефіцієнт передачі об’єкта:

Коефіцієнт передачі клапана з логарифмічною характеристикою приймемо в чотири рази більше необхідної витрати охолоджуючої води:

Коефіцієнт передачі давача температури з межею вимірювання, наприклад, 0-400 К рівний .

Тоді коефіцієнт передачі контуру регулювання:

.

Знак “ - ” вказує на напрям дії регулятора.

На основі характеристик теплового об’єкта, які приведені вище, можна зробити наступні висновки:

1. визначити сталі часу теплового об’єкта дуже важко у зв’язку з взаємодією ємностей між собою;

2. наявність елементів з розподіленими параметрами ускладнює розрахунок контуру регулювання;

3. теплові об’єкти мають як мінімум одну нелінійність; властивості цих об’єктів слід визначати в кожному конкретному випадку.

До особливостей САР температури можна віднести значну інерційність давачів температури. Тому одна із основних задач при проектуванні САР температури - зменшення інерційності давачів. Основними напрями зменшення інерційності давачів температури є:

- підвищення коефіцієнтів тепловіддачі від середовища до чохла в результаті правильного місця встановлення давача; при цьому швидкість руху середовища повинна бути максимальною;

- зменшення теплового опору і теплової ємності захисного чохла в результаті вибору його матеріалу і товщини;

- зменшення постійної часу повітряного прошарку за рахунок застосування наповнювачів (рідина, металева стружка); у термоелектричних перетворювачів (термопар) робочий спай припаюють до захисного чохла і т.п.;

- вибір типу первинного перетворювача температури; наприклад, при виборі термоперетворювача опору, термопари чи манометричного термометра необхідно враховувати, що найменшою інерційністю характеризується термопара в малоінерційному виконанні, найбільшою - манометричний термометр.