3. 2. Задания для контрольных работ
В задачах 1 – 20 даны вершины треугольника АВС.
Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
1. A (0; 3) , B ( 12; – 6) , C ( 10; 8).
2. A (–8; 4) , B ( 4; –5) , C ( 2; 9).
3. A (–2; 2) , B ( 10; –7) , C ( 8; 7).
4. A (– 5; 0) , B ( 7; 9) , C ( 5; –5).
5. A (– 7; 0) , B ( 5; 11) , C ( 3; –3).
6. A (– 5; –3) , B ( 7; 6) , C ( 5; –8).
7. A (– 6; –2) , B ( 6; 7) , C ( 4; –7).
8. A (– 8; –4) , B ( 4; 5) , C ( 2; –9).
9. A (0; –1) , B ( 12; 8) , C ( 10; –6).
10. A (– 6; 1) , B ( 6; 10) , C ( 4; –4).
11. A (– 2; –4) , B ( 10; 5) , C ( 8; –9).
12. A (– 3; 0) , B ( 9; 9) , C ( 7; –5).
13. A (– 9; –2) , B ( 3; 7) , C ( 1; –7).
14. A (–5; 2) , B ( 7; –7) , C ( 5; 7).
15. A (–7; 5) , B ( 5; –4) , C ( 3; 10).
16. A (1; 2) , B ( 13; – 7) , C ( 11; 7).
17. A (–4; 1) , B ( 8; –8) , C ( 6; 6).
18. A (–7; 1) , B ( 5; –8) , C ( 3; 6).
19. A (–7; –1) , B ( 5; –10) , C ( 3; 4).
20. A (–3; 3) , B ( 9; –6) , C ( 7; 8).
В задачах 21 – 40 решить систему уравнений двумя способами:
1) при помощи определителей (по формулам Крамера);
2) с помощью обратной матрицы.
21.
. 22.
.
23.
. 24.
.
25.
. 26.
.
27.
. 28.
.
29.
. 30.
.
31.
. 32.
.
33.
. 34.
.
35.
. 36.
.
37.
. 38.
.
39.
.
40.
.
В задачах 41 – 60 даны координаты точек A, B, C, D.
Требуется: 1) записать векторы АВ, АС, AD в системе орт и найти модули
этих векторов; 2) найти величину угла между векторами АВ и АС;
3) найти площадь треугольника АВС; 4) найти объем пирамиды ABCD.
41. А (1; 1; 3) , B (–4; 0; 3) , C (–1; 5; 7) , D (–2; –2; 9).
42. А (2; 2; 1) , B (–3; 1; 1) , C (0; 6; 5) , D (–1; –1; 7).
43. А (–2; –1; 4) , B (–7; –2; 4) , C (–4; 3; 8) , D (–5; –4; 10).
44. А (5; –1; 5) , B (0; –2; 5) , C (3; 3; 9) , D (2; –4; 11).
45. А (6; 2; –2) , B (1; 1; –2) , C (4; 6; 2) , D (3; –1; 4).
46. А (–1; 3; 6) , B (–6; 2; 6) , C (–3; 7; 10) , D (–4; 0; 12).
47. А (1; 3; 3) , B (2; 1; 5) , C (12; 5; 13) , D (–1; 3; 7).
48. А (4; 1; 1) , B (5; –1; 3) , C (15; 3; 11) , D (2; 1; 5).
49. А (–3; 2;– 2) , B (–2; 0; 0) , C (8; 4; 8) , D (–5; 2; 2).
50. А (5; 1; 2) , B (6; –1; 4) , C (16; 3; 12) , D (3; 1; 6).
51. А (2; 2; 1) , B (3; 0; 3) , C (13; 4; 11) , D (0; 2; 5).
52. А (3; 3; –1) , B (4; 1; 1) , C (14; 5; 9) , D (1; 3; 3).
53. А (–1; 0; 2) , B (0; –2; 4) , C (10; 2; 12) , D (–3; 0; 6).
54. А (6; 0; 3) , B (7; –2; 5) , C (17; 2; 13) , D (4; 0; 7).
55. А (7; 3; –4) , B (8; 1; –2) , C (18; 5; 6) , D (5; 3; 0).
56. А (0; 4; 4) , B (1; 2; 6) , C (11; 6; 16) , D (–2; 4; 8).
57. А (0; 2; 5) , B (–5; 1; 5) , C (–2; 6; 9) , D (–3; –1; 11).
58. А (3; 0; 3) , B (–2; –1; 3) , C (1; 4; 7) , D (0; –3; 9).
59. А (–4; 1; 0) , B (–9; 0; 0) , C (–6; 5; 4) , D (–7; –2; 6).
60. А (4; 0; 4) , B (–1; –1; 4) , C (2; 4; 8) , D (1; –3; 10).
В задачах 61 – 80 вычислить указанные пределы.
61.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
62.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
63.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
64.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
65.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
66.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
67.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
68.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
69.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
70.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
71.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
72.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
73.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
74.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
75
а)
; б)
;
в)
; г)
.
76.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
77.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
78.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
79.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
80.
а)
; б)
;
в)
; г)
.
В задачах 81 – 100 найти производные данных функций.
81.
а)
; б)
;
в)
.
82.
а)
; б)
;
в)
.
83.
а)
; б)
;
в)
.
84.
а )
;
б)
;
в)
.
85.
а)
; б)
;
в)
.
86.
а)
;
б)
;
в)
.
87.
а)
;
б)
;
в)
.
88.
а)
; б)
;
в)
.
89.
а)
; б)
;
в)
.
90.
а)
; б)
;
в)
.
91.
а)
; б)
;
в)
.
92.
а)
; б)
;
в)
.
93.
а)
; б)
;
в)
.
94.
а)
; б)
;
в)
.
95.
а)
; б)
;
в)
.
96.
а)
; б)
;
в)
.
97.
а)
; б)
;
в)
.
98.
а)
; б)
;
в)
.
99.
а)
; б)
;
в)
.
100.
а)
; б)
;
в)
.
В задачах 101 – 120 исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики. Исследование функции рекомендуется проводить по следующей схеме: 1) найти область определения функции; 2) исследовать функцию на непрерывность; 3) определить, является ли данная функция четной, нечетной; 4) найти интервалы возрастания и убывания функции и точки ее экстремума; 5) найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции; 6) найти асимптоты графика функции.
101.
. 102.
. 103.
.
104.
. 105.
.
106.
.
107.
. 108.
. 109.
.
110.
. 111.
. 112.
.
113.
. 114.
. 115.
.
116.
.
117.
. 118.
.
119.
. 120.
.
121. Каковы радиус основания R и высота Н открытого цилиндрического бака данного объема V, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество листового металла?
122. Найти наибольший объем цилиндра, полная поверхность которого равна S.
123. Найти наибольший объем конуса, образующая которого равна l. 124. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м3 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.
125. Сумма двух положительных чисел равна а. Каковы эти числа, если сумма их кубов будет наименьшей?
126. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.
127.
На параболе
найти точку, наименее удаленную от
прямой
.
128. Из всех прямоугольников, вписанных в круг радиуса R, найти тот, который имеет наибольшую площадь.
129. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного сверху полукругом. Периметр сечения 18 м. При каком радиусе полукруга площадь сечения будет наибольшей?
130.
Найти стороны прямоугольника наибольшей
площади, который можно вписать в эллипс
.
В задачах 131 – 150 вычислить неопределенные интегралы.
131. а)
;
б)
;
в)
; г)
.
132. а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
133.
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
134.
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
135.
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
136.
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
137.
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
138.
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
139.
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
140.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
141.
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
142.
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
143.
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
144.
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
145.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
146.
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
147.
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
148.
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
149.
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
150.
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
151.
Найти объем тела, образованного вращением
вокруг оси Ох
фигуры, ограниченной линиями
и
.
152.
Найти объем тела, образованного вращением
вокруг оси Оу
фигуры, ограниченной линиями
.
153.
Найти объем тела, образованного вращением
вокруг оси Оу
фигуры, ограниченной астроидой
.
154.
Найти длину дуги кривой
,
отсеченной осью Ох.
155.
Найти длину дуги кривой
,
отсеченной прямой
.
156.
Найти длину одной арки циклоиды
,
.
157.
Найти длину кривой
.
158.
Найти площадь поверхности, образованной
вращением вокруг оси Ох
дуги кривой
от х
= –4 до х
= 2.
159.
Найти площадь поверхности, образованной
вращением вокруг оси Ох
одной полуволны синусоиды
.
160.
Найти площадь поверхности, образованной
вращением вокруг оси Ох
астроиды
.
161. Найти координаты центра тяжести полуокружности
,
расположенной над осью Ох.
162.
Найти координаты центра тяжести
полуэллипса
,
расположенного над осью Ох.
163.
Найти координаты центра тяжести
однородной плоской фигуры, ограниченной
дугой синусоиды
и отрезком оси Ох
от х
= 0 до х
= π.
164.
Найти координаты центра тяжести
однородной плоской фигуры, ограниченной
эллипсом
и лежащей в первом квадранте.
165.
Найти координаты центра тяжести
однородной плоской фигуры, ограниченной
параболами
и
.
166. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
и прямой
.
167. Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностью
и параболой
.
168. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом
.
169. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой
.
170.
Найти объем тела, образованного вращением
вокруг оси Ох
фигуры, ограниченной эллипсом
.
В задачах 171
– 190 функцию
исследовать на экстремум.
171.
.
172.
.
173.
.
174.
.
175.
.
176.
.
177.
.
178.
.
179.
.
180.
.
181.
.
182.
.
183.
.
184.
.
185.
.
186.
.
187.
.
188.
.
189.
.
190.
.
В задачах 191 – 200 с помощью двойного интеграла вычислить координаты центра тяжести плоской фигуры, ограниченной заданными линиями (поверхностную плотность считать равной единице).
191.
.
192.
.
193.
.
194.
.
195.
.
196.
.
197.
.
198.
.
199.
.
200.
.
В задачах 201 – 210 найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка.
201.
.
202.
.
203.
.
204.
.
205.
.
206.
.
207.
.
208.
.
209.
.
210.
.
В задачах 211 – 230 найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
211.
.
212.
.
213.
.
214.
.
215.
.
216.
.
217.
.
218.
.
219.
.
220.
.
221.
.
222.
.
223.
.
224.
.
225.
.
226.
.
227.
.
228.
.
229.
.
230.
.
В задачах 231
– 250 дан
степенной ряд
.
При заданных значениях а
и b
написать
первые три члена ряда, найти интервал
сходимости ряда и исследовать его
сходимость на концах интервала.
231.
.
232.
.
233.
.
234.
.
235.
.
236.
.
237.
.
238.
.
239.
.
240.
.
241.
.
242.
.
243.
.
244.
.
245.
.
246.
.
247.
.
248.
.
249.
.
250.
.
В задачах 251
– 260 разложить
в ряд Фурье периодическую функцию
,
заданную на интервале – периоде.
251.
252.
253.
254.
255.
256.
257.
.
258.
.
259.
.
260.
.
В задачах 261 – 265 данную функцию в указанном интервале разложить в ряд Фурье по косинусам.
261.
.
262.
.
263.
.
264.
.
265.
.
В задачах 266 – 270 данную функцию в указанном интервале разложить в ряд Фурье по синусам.
266.
.
267.
.
268.
.
269.
.
270.
.
271. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,6, вторым – 0,7, третьим – 0,8. Найти вероятность того, что при одном выстреле попадут в цель: а) все три стрелка;
б) попадет хотя бы один из них.
272. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей, из которых 3 в мягком переплете. Библиотекарь взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в мягком переплете.
273. Студент знает ответы на 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что он знает ответы на предложенные ему экзаменатором три вопроса.
274. Для некоторой местности в июле шесть пасмурных дней. Найти вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода.
275. Из 200 рабочих норму выработки не выполняют 15 человек. Найти вероятность того, что два случайно выбранных рабочих не выполняют норму.
276. В ящике лежат 20 электрических лампочек, из которых 2 нестандартные. Найти вероятность того, что взятые одна за другой две лампочки окажутся стандартными.
277. Одновременно бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что на каждой кости появится нечетное количество очков.
278. Из заготовленной для посева пшеницы зерно первого сорта составляет 40%, второго – 50% , третьего сорта - 10 %. Вероятность того, что взойдет зерно первого сорта, равна 0,8, второго – 0,5, третьего – 0,3. Найти вероятность того, что взойдет наугад взятое зерно.
279. В магазин поступили телевизоры из трех заводов. Вероятность того, что телевизор изготовлен на первом заводе, равна 0,3, на втором – 0,2, на третьем – 0,5. Вероятность того, что телевизор окажется бракованным, для первого завода равна 0,2, для второго – 0,1, для третьего – 0,3. Найти вероятность того, что наугад взятый телевизор окажется не бракованным.
280. В мастерской на трех станках изготавливаются однотипные детали. Вероятность безотказной работы первого станка равна 0,3, второго – 0,4, третьего – 0,3. Вероятность изготовления бракованной детали на первом станке равна 0,2, на втором – 0,3, на третьем – 0,1. Найти вероятность того, что наугад выбранная деталь окажется стандартной.
281. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Производится 4 выстрела. Найти вероятность того, что цель будет поражена : а) три раза; б) не более двух раз.
282. Вероятность всхожести пшеницы равна 0,8. Какова вероятность того, что из пяти семян взойдет не менее трех?
283. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Написать закон распределения вероятностей попаданий в цель при пяти выстрелах и построить многоугольник распределения вероятностей.
284. Всхожесть семян пшеницы составляет 90%. Определить наиболее вероятное число всходов из 200 посеянных семян.
285. Семена пшеницы содержат 0,2% сорняков. Найти вероятность того, что в 1000 семян будет 6 семян сорняков.
В задачах 286 – 290 дана вероятность р того, что семя злака про-
растет. Найти вероятность того, что из n посеянных семян прорастет к
семян.
286.
287.
288.
289.
290.
В задачах 291 – 300 задан закон распределения случайной величины Х ( в первой строке даны возможные значения величины Х, во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений). Найти:
1) математическое ожидание М ( Х ); 2) дисперсию D (X );
3) среднее квадратическое отклонение σ ( Х ).
291. Х 8 10 12 22 24 30
Р 0,3 0,1 0,1 0,2 0,2 0,1
292. Х 10 15 20 25 30 35
Р 0,4 0,1 0,1 0,2 0,1 0,1
293. Х 16 21 25 32 40 50
Р 0,1 0,1 0,2 0,2 0,2 0,2
294. Х 10 15 18 24 29 35
Р 0,2 0,1 0,2 0,2 0,1 0,2
295. Х 12 14 20 23 28 30
Р 0,1 0,1 0,3 0,3 0,1 0,1
296. Х 6 10 18 20 25 30
Р 0,1 0,1 0,1 0,1 0,2 0,4
297. Х 10 14 16 18 20 25
Р 0,2 0,2 0,2 0,2 0,1 0,1
298. Х 6 10 16 20 26 30
Р 0,2 0,2 0,1 0,3 0,1 0,1
299. Х 8 12 16 21 25 30
Р 0,2 0,1 0,2 0,2 0,2 0,1
300. Х 9 13 18 22 28 30
Р 0,1 0,1 0,2 0,3 0,1 0,2
В задачах 301 – 310 случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F (x). Найти: 1) вероятность того, что в результате испытания Х примет значения, принадлежащие заданному интервалу
;
2) дифференциальную функцию распределения
;
3) математическое ожидание М(Х);
4) дисперсию D(X).
301.
.
302.
.
303.
.
304.
.
305.
.
306.
.
307.
.
308.
.
309.
.
310.
.