Решение типовых примеров.

Найти неопределённые интегралы. Проверить результат дифференцированием (в одном из примеров).

а) б)

в) г)

д) е)

Решение.

а)

=

б)

в)

Нужно использовать формулу интегрирования по частям:

Для этого обозначим тогда

Тогда, применяя формулу интегрирования по частям, получим

г)

д)

Использована формула: . е)

Проверим результат интегрирования в примере д) дифференцированием:

Получили подынтегральную функцию. Следовательно, интеграл нашли верно.

Задачи для самостоятельного решения

Часть II

В задачах 1  20 найти с помощью определённых интегралов

1) Площадь плоской фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной заданными параболой, прямой и осью ОХ;

2) Объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ данной плоской фигуры.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Решение типовых примеров

Пример 1. Найти с помощью определённого интеграла площадь плоской фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной параболой прямой и осью OX ( рис.3 ).

Решение. Сделаем чертёж: в осях ХОУ построим параболу и прямую и заштрихуем искомую площадь, расположенную в первом квадранте. Затем найдём абсциссу точки пересечения параболы и прямой в первом квадранте. Для этого приравняем правые части уравнений параболы и прямой и решим полученное квадратное уравнение или Корни этого уравнения Первому квадранту соответствует корень

Найдём абсциссу точки пересечения прямой с осью ОХ Решим уравнение , откуда

Искомая площадь фигуры где площадь фигуры, ограниченной данной параболой , вертикальной прямой и осью ОХ ; площадь фигуры, ограниченной вертикальной прямой данной прямой и осью ОХ . Вычислим искомые площади:

(кв.ед.)

(кв.ед.)

Общая площадь (кв.ед.)

Пример 2. Найти с помощью определённого интеграла объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной параболой прямой и осью ОХ (рис.3).

Решение. Можно считать, что тело вращения ограничено при поверхностью, образованной вращением параболы вокруг оси ОХ , а при поверхностью, образованной вращением прямой вокруг оси ОХ .

Таким образом, общий объём тела вращения будет складываться из двух объёмов:

Вычислим эти объёмы по формулам:

(куб.ед.)

Для вычисления этого интеграла используем метод замены переменной.

Пусть Тогда или отсюда Определим новые пределы интегрирования, соответствующие переменной : при а при

(куб.ед.)

(куб.ед.)

Рис. 3

Ответ : площадь плоской фигуры (кв. ед.),

объём тела вращения (куб. ед.)

С О Д Е Р Ж А Н И Е