10. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении - сжатии в статически неопределимых системах

10.1 Пример

Система состоит из абсолютно жесткого бруса и двух стальных стержней 1 и 2 (рис.10.1 а)). Требуется определить грузоподъемность системы, проведя расчет по допускаемым напряжениям, если:

.

Рисунок 10.1

Решение

Проведем сечение через оба стержня и введем в рассмотрение внутренние силы N₁ и N₂ (рис.10.2 б)).

Составим уравнение статики:

или

(10.1)

Составим уравнение совместности деформаций и перемещений, для чего рассмотрим конструкцию в деформированном состоянии (рис.10.2 в)). В результате удлинения стержней брус повернется вокруг шарнира D, оставаясь прямым. Перемещение шарнира В равно удлинению первого стержня: . Перемещение шарнира С равно: . Из подобия треугольников и получаем:

, или

Выразим деформации стержней через продольные силы:

;

(10.2)

Подставим уравнение (10.2) в уравнение (10.1):

С учетом числовых данных N₁=0,241 F, N₂=0,438 F.

Напряжения в стержнях равны:

Более нагруженным оказался стержень 2.

Определим допустимую грузоподъемность из условия прочности:

10.2 Пример

Проверить прочность ступенчатого стального бруса (рисунок 10.2), если:

площадь поперечного сечения А=3 см², , .

Рисунок 10.2

Решение

Составим уравнение статики:

Стержень 1 раз статически неопределим, так как единственное уравнение статики содержит две неизвестные реакции, для определения которых необходимо составить дополнительно одно деформационное уравнение:

, (10,3)

где и - деформации стержня соответственно от внешних сил и реакций.

Используем принцип независимости действия сил. Мысленно отбросим опору «С» и представим заданный стержень под действием внешних сил с построением эпюры N_P и под действием реакции R_C с построением эпюры N_R (рисунок 10.3).

Выразим деформации стержня на каждом участке через продольные силы и жесткость поперечного сечения по формуле:

;

;

(10.4)

.

Подставим уравнения (10.4) в уравнение (10.3):

, откуда R_C = 22,5 кН.

Рисунок 10.3

Окончательную эпюру продольных сил (N) строим суммированием эпюр (N_P) и (N_R). Производим проверку прочности на опасном участке (см. рис. 10.3):

.

10.3 Пример Железобетонная колонна (рис. 10.4) нагружена силой F. Площадь поперечного сечения продольной арматуры (Ст.3) Аa=50 см2. Модули упругости для арматуры и бетона соответственно равны: , . Определить напряжения в арматуре и бетоне . Решение Площадь поперечного сечения бетона равна: .

Рисунок 10.4

Уравнение проекций всех сил на вертикальную ось:

. (10.5)

Для решения задачи требуется дополнительное деформационное уравнение. В железобетонных элементах арматура соединена и работает совместно с бетоном. Следовательно, относительное удлинение арматуры и бетона , должно быть одинаковым:

, или .

Откуда: . (10.6)

Решая совместно выражения (10.5) и (10.6) получим:

.

Напряжения равны:

,