Типовые звенья

Любая САР может быть представлена в виде комбинации (последовательного или параллельного соединения) типовых звеньев. К числу типовых звеньев, из которых состоят линейные САР, относятся следующие звенья с ПФ:

1. Усилительное звено

2. Интегрирующее звено

3. Дифференцирующее звено

4. Апериодическое звено

5. Форсирующее звено 1-го порядка

6. Колебательное звено ,

7. Форсирующее звено 2-го порядка

8. Звено чистого запаздывания

Усилительное звено (усилитель)

– коэффициент передачи

Дифференциальное уравнение

.

Переходная функция (см. рисунок)

.

Весовая функция (см. рисунок)

.

Частотная характеристика

.

АЧХ

.

ФЧХ и ЛФЧХ

.

ЛАЧХ

.

Область 1 – при

Область 2 – при

Область 3 – при

Интегрирующее звено (интегратор)

– коэффициент передачи; – постоянная времени.

Дифференциальное уравнение

.

Переходная функция (см. рисунок)

.

Весовая функция (см. рисунок)

.

Применительно к нашей специальности для интегратора чаще используется понятие постоянной времени .

При наличии на входе интегратора постоянного сигнала, отличного от нуля, сигнал на его выходе изменяется по линейному закону, при равенстве сигнала на входе нулю сигнал на выходе интегратора стабилизируется и в общем случае отличен от нуля.

Частотная характеристика .

АЧХ .

ФЧХ .

Таким образом, в интеграторе выходной сигнал отстает от входного по фазе на /2, независимо от частоты .

ЛАЧХ .

ЛФЧХ .

ЛАЧХ при какой-то определенной частоте ₁ равна L(₁)= –20 lg ₁T. При увеличении частоты в 10 раз (на одну декаду) L(10₁) = –20 lg 10₁T = –20 lg ₁T – 20. Поскольку L(₁) – L(10₁) = 20 дБ, следовательно, ЛАЧХ интегрирующего звена представляет собой прямую с наклоном –20 дБ/дек.

Построение ЛАЧХ производим по характерным точкам (см. рисунок):

• при =1 L()= –20 lg T = 20 lg 1/T = 20 lg k.

• при =1/T L()=0.

Наклон ЛАЧХ –20 дБ/дек соответствует наклону АЧХ –1, поэтому его часто так и обозначают.

Как уже отмечалось, ЛФЧХ не зависит от частоты и представляет собой прямую на уровне –/2.

При , как следует из АЧХ и ЛАЧХ, коэффициент передачи интегратора по амплитуде стремится к бесконечности; и напротив, при увеличении частоты коэффициент передачи по амплитуде уменьшается. Это означает, что интегратор не пропускает на выход высокие частоты, являясь фильтром низких частот.

Дифференцирующее звено (дифференциатор)

– постоянная времени

Дифференциальное уравнение

.

Переходная функция (см. рисунок)

.

Весовая функция (см. рисунок)

.

Частотная характеристика .

АЧХ .

ФЧХ .

Таким образом, в дифференциаторе выходной сигнал опережает входной по фазе на /2, независимо от частоты .

ЛАЧХ .

ЛФЧХ .

Аналогично тому, как это было сделано для интегратора, можно показать, что ЛАЧХ дифференцирующего звена представляет собой прямую с наклоном +20 дБ/дек (+1), которая будет пересекать ось частот при (см. рисунок).

Из ЛАЧХ видно, что с ростом  увеличивается коэффициент передачи дифференциатора по амплитуде. Таким образом, данное звено является помехонеустойчивым в том смысле, что оно подчеркивает высокочастотные помехи (наиболее частые на практике): даже при малой входной амплитуде высокочастотного сигнала на выходе можно наблюдать значительную высокочастотную составляющую.

Примечание. ПФ дифференцирующего звена является обратной по отношению к передаточной функции интегрирующего звена. Кроме того (точнее, следовательно), ЛАЧХ и ЛФЧХ дифференциатора являются зеркальными отображениями соответствующих характеристик интегратора относительно оси частот. На основании этого можно сделать более широкий вывод: логарифмические частотные характеристики любого звена с ПФ являются обратными соответствующим характеристикам звена с ПФ , то есть, являются их зеркальными отображениями относительно оси частот .

Апериодическое звено (инерционное)

– коэффициент передачи; – постоянная времени

Дифференциальное уравнение

.

Найдем сначала импульсную переходную функцию, зная ее связь с ПФ и используя теорему разложения. ПФ содержит один полюс , следовательно,

,

и

.

Переходная функция (см. рисунок)

.

Используя выражение для переходной функции, можно определить:

h(T) = 0,632 k = 0,632 h_уст

h(2T) = 0,865 h_уст

h(3T) = 0,950 h_уст

h(4T) = 0,982 h_уст

Таким образом, переходный процесс практически закончится при .

Постоянная времени T является мерою инерционности апериодического звена. Чем меньше значение Т, тем быстрее протекает переходный процесс.

Частотная характеристика

.

АЧХ .

ФЧХ .

Таким образом, в апериодическом звене фазовый сдвиг зависит от частоты, причем максимальный фазовый сдвиг будет равен –/2 при .

ЛАЧХ .

ЛФЧХ .

Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) усилительного, интегрирующего и дифференциального звеньев являются прямыми линиями, и легко могут быть построены. Построение ЛЧХ апериодического и остальных звеньев требует вычислений, которые без использования ЭВМ достаточно трудоемки. Поэтому в большинстве случаев на практике ограничиваются построением приближенных асимптотических ЛЧХ, на основании которых уже могут быть сделаны все основные выводы о динамических свойствах звена.

Рассмотрим алгоритм построения асимптотических ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена.

Асимптотическая ЛАЧХ. При малых частотах второе слагаемое под радикалом , и им можно пренебречь; тогда . При больших частотах под радикалом можно пренебречь единицей по сравнению с , и тогда . Таким образом, асимптотическая ЛАЧХ состоит из двух отрезков, пересекающихся на оси частот в точке, соответствующей частоте , называемой частотой сопряжения (см. рисунок). Реальная ЛАЧХ апериодического звена (показана пунктиром) имеет максимальное отличие от асимптотической (3 дБ) при частоте сопряжения.

Асимптотическая ЛФЧХ. При частоте сопряжения . При малых , а при больших . На практике при частотах, близких к частоте сопряжения (1 декада) ЛФЧХ может без большой погрешности заменена линейной зависимостью, проходящей через точку (см. рисунок).

Форсирующее звено 1-го порядка

– постоянная времени

Из эквивалентной схемы видно, что это звено подает на выход входной сигнал и его производную.

Дифференциальное уравнение

.

Переходная функция (см. рисунок)

.

Весовая функция:

.

Частотная характеристика

.

АЧХ .

ФЧХ .

Как и дифференцирующее звено, форсирующее звено 1-го порядка является помехонеустойчивым, поскольку усиливает высокочастотные составляющие входного сигнала.

ЛАЧХ .

ЛФЧХ .

Поскольку ПФ форсирующего звена 1-го порядка обратна ПФ апериодического звена (при k=1), то ЛЧХ форсирующего звена являются зеркальным отображением относительно оси частот соответствующих характеристик апериодического звена при k=1 (см. рисунок).

Колебательное звено

– коэффициент передачи; – постоянная времени

Иногда используют другую форму записи ПФ колебательного звена:

,

где 0<<1 – коэффициент демпфирования;

– угловая частота колебательного звена;

,  – модули действительной и мнимой частей полюсов ПФ колебательного звена.

Доказательство. Корни уравнения равны

, поскольку .

Для определения коэффициентов ,  приравняем знаменатели первого и последнего выражений для ПФ:

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях p, можно найти:

; ; .

Дифференциальное уравнение:

.

Выражения для переходной и весовой функций могут быть выведены с помощью обратного преобразования Лапласа с использованием теоремы разложения при комплексных корнях (примите без доказательства).

Вывод выражения для переходной функции:

.

Вывод выражения для весовой функции:

.

Переходная функция (см. рисунок)

,

где .

Весовая функция (см. рисунок)

.

Установившееся значение:

h_уст = k

Значение времени первого согласования t_c можно узнать, если в выражении для переходной функции приравнять синус нулю, тогда , отсюда

.

Время t_m достижения максимального значения можно узнать, приравняв значение весовой функции нулю:

.

Равенство нулю весовой функции будет иметь место также для всех , где – положительное целое число (см. рисунок).

Подставив t_m в выражение для переходной функции, определим максимальное значение выходной переменной в переходном режиме:

,

где .

Наконец, перерегулирование

.

Известны соответствующие графики зависимостей [3] и :

Частотная характеристика:

.

АЧХ .

ФЧХ .

ЛАЧХ .

ЛФЧХ .

Асимптотическая ЛАЧХ. При малых частотах можно пренебречь составляющей , тогда . При больших частотах под радикалом можно пренебречь единицей по сравнению с , и тогда

.

Таким образом, асимптотическая ЛАЧХ колебательного звена состоит из двух отрезков, пересекающихся на оси частот в точке, соответствующей частоте сопряжения (см. рисунок). Реальная ЛАЧХ достаточна близка к асимптотической (погрешность на частоте сопряжения не превышает 6 дБ) при =0,2…1,0. В остальных случаях (когда 0,2) следует воспользоваться либо кривыми поправок [1], либо точным математическим выражением для ЛАЧХ.

Асимптотическая ЛФЧХ. При частоте сопряжения . При малых , а при больших . Но асимптотическая ЛФЧХ совпадает с реальной только при (см. рисунок), в остальных случаях различие существенное, поэтому следует пользоваться ее математическим выражением.

Определение параметров колебательного звена.

Иногда форма записи ПФ колебательного звена может отличаться от стандартных. Возникает вопрос определения параметров Т и  колебательного звена.

Например, ПФ двигателя постоянного тока по управляющему воздействию имеет вид:

.

Здесь и . Отсюда

.

Если оказывается, что , имеем колебательное звено. В противном случае () корни знаменателя ПФ становятся действительными, тогда звено представляет собой последовательное соединение двух апериодических звеньев.

Таким образом, значение говорит о том, какой характер переходного процесса будет иметь место на выходе звена. Применительно к двигателю постоянного тока , когда , и будет иметь место колебательный (с перерегулированием) процесс при скачкообразном приложении управляющего воздействия. В противном случае переходный процесс будет апериодическим (с дотягиванием).

Форсирующее звено 2-го порядка

– постоянная времени

Имеет ПФ, обратную ПФ колебательного звена при , . Поэтому здесь вкратце приведем основные математические зависимости.

Дифференциальное уравнение:

.

Частотная характеристика:

.

АЧХ .

ФЧХ .

ЛАЧХ .

ЛФЧХ .

Звено чистого (транспортного) запаздывания

Некоторые ОУ могут обладать запаздыванием (например, трубопроводы, длинные линии, транспортеры). Запаздывание проявляется в том, что при изменении входного воздействия выходная переменная начинает изменяться не сразу, а спустя некоторый промежуток времени , называемый временем чистого или транспортного запаздывания.

.

Переходная функция (см. рисунок)

Весовая функция (см. рисунок)

Частотная характеристика:

АЧХ .

ФЧХ .

ЛАЧХ .

ЛФЧХ .

Построение логарифмических частотных характеристик

произвольной совокупности типовых звеньев

Пусть имеется произвольное последовательное соединение n типовых звеньев с результирующей ПФ

(1)

По определению ЛАЧХ и ЛФЧХ вычисляются следующим образом:

;

.

Таким образом, для построения ЛАЧХ или ЛФЧХ последовательного соединения звеньев следует построить соответствующие характеристики каждого звена, и затем геометрически их сложить.

Передаточную функцию (1) совокупности звеньев целесообразно представить в более развернутом виде:

, (2)

где – нормированная ПФ – отношение произведений ПФ элементарных звеньев 1-го и 2-го порядков (т.е., вида и при ) с единичным передаточным коэффициентом ();

– результирующий коэффициент передачи (усиления);

– порядок астатизма ПФ (так наз. апериодической нейтральности), численно равный количеству последовательно соединенных интеграторов в предположении, что чистые дифференцирующие звенья отсутствуют.

Пример. Построить асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ звена с ПФ

,

где значение коэффициента усиления и постоянных времени известны, и известно, что .

Если рассматривать эту ПФ в виде (2), то

; ; .

Очевидно, имеем последовательное соединение четырех типовых звеньев: интегратор с ПФ ; форсирующее звено 1-го порядка с ПФ ; апериодическое звено с ПФ ; колебательное звено с ПФ ().

Строим асимптотические ЛАЧХ каждого из звеньев (пунктирные линии) и их геометрическую сумму (сплошная линия), которая и является результирующей ЛАЧХ. Аналогично поступаем с ЛФЧХ.

После анализа ЛАЧХ можно предложить следующее правило:

1) Пользуясь представлением (2) передаточной функции, вычисляют все частоты сопряжения (i = 1, 2, …), которые нумеруют в порядке возрастания и откладывают на оси частот;

2) Предварительную ЛАЧХ начинают строить от области низких частот, проводя прямую под наклоном –20 дБ/дек () так, чтобы она (или ее продолжение) пересекала ось частот при частоте . (Эта ЛАЧХ будет пересекать ось ординат в точке .)

Именно такой вид будет иметь ЛАЧХ совокупности последовательно соединенных интеграторов, соответствующая первому множителю ПФ вида (2).

3) Низкочастотная ЛАЧХ будет претерпевать изломы только при частотах сопряжения , причем наклон будет изменяться на 20 дБ/дек (+1), если -м звеном оказывается форсирующее звено 1-го порядка, на –20 дБ/дек (–1) – если апериодическое звено, на +40 дБ/дек (+2) – если форсирующее звено 2-го порядка, на –40 дБ/дек (–2) – если колебательное звено.

Что касается ЛФЧХ, то следует построить ЛФЧХ отдельных звеньев, и затем геометрически их просуммировать.

Примечание. В случае наличия последовательно соединенного звена чистого запаздывания ЛАЧХ соединения остается без изменения, однако это звено окажет влияние на фазовый сдвиг.

Пример. Пользуясь правилом, построить ЛАЧХ соединения звеньев с ПФ:

Очевидно, что здесь , , .

Тогда , . Проводим прямую под наклоном –2 (–40 дБ/дек), которая будет пересекать ось частот в точке . При ЛАЧХ изменит наклон на –1, поскольку соответствует частоте сопряжения апериодического звена. Следовательно, при ЛАЧХ будет иметь наклон –3 (–2–1=–3).

Лекция 6

(4 часа)