Инвариантные сар

Инвариантность означает независимость.

Если в системе ошибка и не зависит от формы какого-либо входного воздействия, то систему называют инвариантной по отношению к этому воздействию.

Схема Щипанова

В инвариантной системе . Это означает, что ошибка

. (1)

Условие абсолютной инвариантности (1) выполняется, если ПФ замкнутой системы будет равна единице. Передаточная функция замкнутой системы

.

Очевидно, что

,

если

.

Таким образом, условие абсолютной инвариантности для схемы Щипанова выполняется, если передаточная функция параллельного корректирующего звена является обратной по отношению к передаточной функции одного из звеньев системы:

. (2)

1-й недостаток схемы Щипанова.

На практике реальные элементы, которые требуется охватить положительной ОС, имеют передаточную функцию, порядок числителя которой меньше порядка знаменателя (условие физической реализуемости). Но тогда с учетом (2) видно, что для достижения абсолютной инвариантности параллельное корректирующее звено должно иметь порядок числителя, больший порядка знаменателя, а такие звенья нереализуемы. По этой причине абсолютная инвариантность недостижима.

На практике употребляют термин – инвариантность с точностью до  .

Например, если в качестве выбрать звено

,

то принимают

,

где (не менее, чем на порядок меньше).

2-й недостаток схемы Щипанова.

Рассмотрим внутренний контур (рис.11.2).

Пусть

; ,

причем стремятся, чтобы

; .

Передаточная функция замкнутого контура:

.

Из последнего выражения видно, что коэффициенты характеристического полинома замкнутого контура

даже при незначительном отклонении от условия инвариантности могут стать отрицательными. Это приведет к тому, что как внутренний контур, так и система в целом будут неустойчивыми. В этом случае говорят, что система не является "грубой" в смысле Андронова.

"Грубыми" в смысле Андронова называются устойчивые системы, которые остаются устойчивыми незначительных (достаточно малых) изменениях параметров.

Таким образом, при синтезе инвариантных САР задача состоит в проектировании "грубых" в смысле Андронова систем. Схема Щипанова не является "грубой", поэтому на практике используется в ограниченном числе случаев.

Схема Мура

Корректирующее звено с передаточной функцией находится вне замкнутого контура, и поэтому не влияет на устойчивость системы.

Передаточная функция замкнутой системы:

.

Очевидно, что необходимое для абсолютной инвариантности условие

будет выполняться в случае, если

Таким образом, условие абсолютной инвариантности для схемы Мура выполняется, если передаточная функция корректирующего звена является обратной по отношению к передаточной функции звеньев системы, расположенных за точкой приложения корректирующего воздействия:

. (3)

Аналогично предыдущему случаю, можно показать, что звено с передаточной функцией (3) на практике физически нереализуемо.

Часто схему Мура называют комбинированной системой. Любая комбинированная система ведет себя лучше, чем система, использующая только регулирование по отклонению.

В качестве примера рассмотрим схему компенсации возмущающего воздействия (рис.11.4).

Если обеспечить , что является условием абсолютной инвариантности системы по отношению к воздействию , то система будет нечувствительна к возмущению. Однако, поскольку абсолютная инвариантность на практике недостижима, следует использовать условие инвариантности с точностью до , например в виде:

,

где – малая постоянная времени (на порядок меньшая прочих постоянных времени системы).

1 Здесь и далее с целью упрощения полагаем, что переменные наблюдения полностью совпадают с переменными состояния:

.

1 На практике с этой целью могут использоваться так называемые идентификаторы и наблюдатели состояния.

1 Здесь и далее для упрощения полагаем, что коэффициент передачи датчика k_Д=1.