5. Формальные задачи статистики

С формальной точки зрения основными расчётными формулами в статистике являются формулы, определяющие средние значения м условия нормировки. Нахождение функций распределения составляет отдельную задачу. Существует методика их нахождения, как чисто экспериментальная, так и теоретическая (в физических задачах это сводится к решению уравнения Лиувилля, довольно сложного, нелинейного, для которого разработаны различные способы приближённого решения). При этом оказывается. что сами функции распределения могут быть весьма разнообразными в различных областях применения статистики. Поэтому главная задача для студентов на первом этапе - овладеть формальными методами расчёта. Существует большое количество тестовых задач на формальное применение теории при заданных функциях распределения и области существования случайных величин. Рассмотрим некоторые примеры.

1. Равномерные распределения. Одномерный случай (1Д). случайная величина х определена на интервале (а,в) с одинаковой вероятностью (рис. 2).

Обычно требуется найти среднее от некоторой заданной функции случайных величин, и довольно часто следует сравнить с каким либо другим средним.

Условие нормировки даёт:

(5.1)

Среднее от х даётся простым интегралом:

(5.2)

Средний квадрат также определяется через простой табличный интеграл:

(5.3)

Пусть a = 0, b = 1, тогда <x> = 1/2, <x²> = 1/3. Отношение среднего к среднеквадратичноу равно 3/2.

Обычно подобного рода оценки и предлагаются на тестовых испытаниях, при решении используются простейшие табличные интегралы. В данном примере среднее оказывается больше среднеквадратичного.

3. Двумерное (2Д) равномерное распределение:

f(x,y) = A = const, x

(5.4)

Нормировка:

(5.5

Откуда имеем:

Среднее значение:

Ясно, что средние <x> и <y> по виду такие же, как и в (1Д). Фактически можно считать, что в данном случае f = f(x) f(y) Но новое то, что возникает и смешанное среднее:

(5.6)

Стандартный тестовый вопрос: каково отношение cреднего квадрата к смешанному среднему, при a = b = 1? Ответ 4/3.

3. Двумерный изотропный газ.

Какова функция распределения газа по направлениям скоростей? Направления на плоскости определяются единственным углом , отсчитанным от некоторого направления Х. Так, что задача сводится к случаю 1, только здесь область определения есть 2п, поэтому элементарная вероятность имеет вид:

(5.7)

4. Трёхмерный (3Д) изотропный газ. Теперь направление в пространстве определяется уже двумя углами, и их называют углами Эйлера (рис.3).

Если все направления в пространстве равновероятны, то элементарную вероятность, , можно определить как отношение элементарной площадки на поверхности сферы произвольного радиуса к площади всей поверхности сферы:

(5.8)

откуда функция распределения по углам равна:

(5.9)

Видно, что и статистически независимы, поскольку f представима как произведение, причём, обе функции нормированы на единицу.

Замечание.

Для задания направления в 3Д пространстве иногда вместо используется другой угол, отсчитываемый от плоскости (X,Y). Например. в астрономии это плоскость горизонта, Поэтому этот угол называют полярным, а угол - азимутальным.

5. В практике статистических расчётов довольно часто для функций распределения вероятности используются экспоненциальные функции типа exp(an) и exp(an² ) , где а > 0. Довольно часто коэффициентами при экспонентах выступают степенные функции или даже целые полиномы. Причём случайная величина может принимать не только непрерывные значения, но и дискретные (квантовые). Рассмотрим функцию распределения типа:

(5.10)

где n принимает целочисленные значения, пусть всего два - 0 и 1. Тогда нормировочная константа А определяется условием:

(5.11)

Среднее значение:

(5.12)

При функция изменяется от 1/2 до нуля. При <n> стремится к единице. получается такая "ступенчатая" функция.

Дополнение. Если принять , где - энергия микрочастицы, - химический потенциал, а Т - температура, то в таком виде эта функция называется распределением Ферми-Дирака. Химический потенциал - это энергия удаления или присоединения одной частицы к остальному газу частиц. В силу различных причин она может быть как положительно, так и отрицательной, или даже равняться нулю.