11. Чёрное излучение.

Под чёрным излучением понимается электромагнитное излучение, находящееся в тепловом равновесии. Чёрное излучение можно рассматривать как газ, состоящий из фотонов. Кроме того, можно считать, что этот фотонный газ является идеальным газом, то есть взаимодействие между фотонами отсутствует.

Здесь следует обратить внимание, что закон дисперсии энергии фотонов (то есть зависимость энергии от импульса или скорости) отличен от случая классических частиц.

Именно, вместо квадратичной зависимости здесь имеет место линейная:

(111)

где с - мировая постоянная, скорость фотона, Кроме того, фотон данной частоты должен иметь энергию, кратную величине (закон Планка):

(11.2)

где m = любое целое число, - ещё одна мировая постоянная, постоянная Планка. Это табличная величина, но поскольку используется две частоты по времени, обычная и циклическая, , то фигурируют и две постоянные, h и (одна из них обычно пишется с чёрточкой).

В этой задаче случайной величиной является число частиц, обладающие заданной энергией. Это число может быть любым, но ясно, что количество фотонов, несущих большую энергию (много квантов) должно быть мало, поскольку у них мала вероятность. Вероятность даётся распределением Гиббса:

(11.3)

Не трудно заметить, что математическая сторона задачи связана с геометрической прогрессией:

(11.4)

Формула табличная (хотя и легко доказывается можно сказать "в уме"). Продифференцировав обе части этого равенства по q, можно получить другую сумму:

(11.5)

Из условия нормировки находим величину А:

(11.6)

Среднее число фотонов, обладающих заданной частотой , есть:

(11.7)

Эта формула носит название распределение Планка. Обычно говорят, что она даёт распределение фотонов по различным квантовым состояниям с импульсом , энергией и двумя значениями поляризации. По сути, это среднее число фотонов, оно, например, может быть очень большим при a< < 1.

Средняя энергия этих фотонов равна:

(11.8)

Реально в тепловом равновесии находятся фотоны с квантами разных частот. Фотонный газ идеальный, нет непосредственного силового взаимодействия между ними. В таком случае существенную роль в установлении равновесия играют стенки, ограничивающие объём газа, то есть граничные условия. На границе происходит переизлучение фотонов, одни гибнут, другие рождаются. Важность правильного выбора граничных условий, не нарушающих равновесие, уже обсуждалось ранее для классического максвелловского газа. Существенным было то, что удары молекул о стенки должны считаться упругими. Для фотонов, обладающими и волновыми свойствами, граничное условие выражается через фазы гармонических волн. Если фотонный газ находится в прямоугольном объёме V = a b c , со сторонами a, b, c , то при прохождении волны от одной стенки к противоположной фаза должна меняться на целое число 2 (это период гармоник, то есть синуса и косинуса), поэтому эти условия имеют вид:

(11.9)

где n₁, n₂, n₃ - любые целые числа. Таким образом компоненты волнового вектора оказываются дискретными. И чтобы получить полную энергию фотонного газа Е следует просуммировать вклады по всем значениям к:

(11.10)

Напомним, что и к = , поэтому фактически суммирование можно проводить по к, или .

Для больших объёмов газа дискретные значения располагаются очень густо (квазидискретный спектр). Разность соседних значений мала, и тогда можно сделать предельный переход от дискретной суммы к интегралу:

(11.11)

Если подынтегральное выражение зависит только от модуля к, то, как обычно, в качестве дифференциала dk берётся тонкий сферический слой радиуса k:

(11.12)

Тогда полная энергия записывается в виде:

(11.13)

Величина G есть просто безразмерное число (числовое значение интеграла).

Энергия чёрного излучения записывается как сумма вкладов по отдельным частотам:

(11.14)

Величина E(w) называется спектральным распределением энергии чёрного излучения:

(11.15)

Эта формула была впервые получена М. Планком в 1900 году. Как функция частоты E(w) имеет максимуv, определяющийся равенством:

(11.16)

Имеет место закон смещения: при повышении температуры положение максимума спектрального распределения смещается в сторону больших частот пропорционально Т.

Полную энергию принято записывать в виде:

(11.17)

Эта формула носит название закона Больцмана. Постоянная называется постоянной Стефана-Больцмана:

(11.18)

Иногда спектральное распределение выражают в виде функции от длины волны , это упражнение предоставляется сделать самим студентам.