Среднее значение компоненты скорости

(7.11)

Этот результат очевиден просто в силу нечетности подынтегральной функции и симметричных пределов интегрирования.

Среднее значение квадрата компоненты скорости

(7.12)

Обратим внимание, что в определенном интеграле переменную интегрирования можно выбирать любую, значение интеграла от этого не зависит.

Квадратный корень из среднеквадратичной скорости имеет размерность самой скорости и часто используется для сравнений:

(7.13)

. Распределение Максвелла для вектора скорости

Задание вектора скорости эквивалентно заданию его комронент. В максвелловском газе эти компоненты статистически независимы. Поэтому можно сразу записать для функции распределения f:

\ (7.14)

Распределение Максвелла для модуля скорости.

Как уже рассматривалось в п. 5\. , направление вектора задаётся углами Эйлера. Элементарная площадка на сфере радиуса записывается в виде:

(7.15)

Если интересоваться только модулем и не интересоваться направлением скорости, \то согласно теореме сложения вероятностей, следует просуммировать все состояния в бесконечно узком сферическом слое толщенной :

.

(7.16)

Поэтому, функция распределения, входящая в элементарную вероятность

записывается в следующем виде:

(7.17)

Среднее значение модуля скорости.

(7.18)

Здесь используется табличный интеграл:

(7.19)

.Среднее значение квадрата скорости.

(7.20)

Здесь используется табличный интеграл:

(7.21)

Наиболее вероятная (наивероятнейшая) скорость

Имеется в виду скорость, отвечающая максимуму функции распределения. Она отвечает условию :

(7.22)

Распределение Максвелла для энергии.

Элементарная вероятность для величины энергии записывается в виде:

(7.23)

Далее нужно просто в F выразить скорость через энергию:

(7.24)

В итоге получаем:

(7.25)

8. Среднее число ударов молекул о стенку для максвелловского газа

Микроскопическое значение числа ударов молекул о стенку дается формулой (3.14). Конечно, здесь имеется в виду плотность потока числа частиц, то есть число частиц, ударяющихся в единицу времени об единицу площади поверхности. Пусть площадка перпендикулярна оси Х. Тогда нужно взять только одну компоненту:

(8.1)

Среднее значение от плотности потока называют интенсивностью числа ударов. Обозначим ее греческой буквой , по определению:

(8.2)

Поскольку газ находится в состоянии термодинамического равновесия, то n = const, иначе возникла бы диффузия молекул. Низний предел интеграла полагается нулем, поскольку учитываются только те молекулы, которые летят к стенке (а не от нее!). Значение табличного интеграла имеет вид:

(8.3)

При решении конкретных задач часто возникает необходимость в различных выражениях через требуемые заданные параметры.

Выводы. Обратим внимание, что во многие формулы входит характерный параметр В связи с этим выражение для числа ударов может быть представлено через характерные статистические скорости (параграф 7).