В. Додавання дисперсій

Теорема. Якщо деяка сукупність визначених величин розбита (повністю) на групи, то загальна дисперсія рівна сумі внутрігрупової та міжгрупової. дисперсій

Нехай у нас є дві групи

група 1 група 2

значення признаку

Частоти появи

Об’єм,

потужність групи

Групове середнє

значення

Групова дисперсія

Повний об’єм всіх випадкових величин

Тоді :

Розглянемо

бо

Аналогічно для другого виразу

Тоді

Міра кореляційного зв’язку.

Зрозуміло, що при функціональній залежності зв'язок між X та Y дуже тісний. Адже для заданого Х.

В принципі, при нетісному зв’язку кожному “Х” відповідає ціла сукупність, множин значень Y.

Для функціонального зв’язку Для кореляційного зв’язку

Зв'язок тісний Зв'язок не тісний

Як же можна оцінити тісноту довільного кореляційного зв’язку?

Нехай результати дослідів приведено в кореляційну таблицю.

Y	X
	3	9
3	4	13
5	6	7
	10	20
	4.2	3.7

Ми маємо дві групи, що відповідають різним значенням Х=3 та Х=9.

В 1 групі 4 рази мали Y=9 та 6 разів Y=5

В 2 групі при (Х=9) мали 13 раз Y=3 та 7 раз Y=5

Можна обчислити умовні групові середні

Оскільки усі значення признаку Y розбито на групи, то загальну дисперсію признака можна представити у вигляді суми внутрігрупової та між групової дисперсій.

Покажемо справедливість таких тверджень:

1)Якщо зв'язок між X та Y функціональний, то:

2)Якщо зв'язок кореляційний, то:

Дов. 1 Якщо зв’язок між Х та Y функціональний, то кожному Х відповідає певне значення Y. Тому група виразиться в одне число по Y. Тому групова дисперсія буде рівна 0 і твердження доведене, бо

,

Дов. 2 Якщо при наявності кореляційного зв’язку, то , а отже відношення

Ясно, що таке відношення дисперсій як і власне може служити мірою щільності кореляційного зв’язку.

Переваги та недоліки введення кореляційного зв’язку.

Переваги:

Ясно, що коли зв’язку між Х таY немає зовсім. Якщо ж то зв'язок функціональний.

Тому зростання щільності, зменшення радіуса кільця біля значення , супроводжує наближення кореляційного зв‘язку між випадковими змінними до функціонального.

Відмітимо, що даний параметр характеризує довільний функціональний зв'язок, не обов’язково лінійний.

Недоліки:

Недолік полягає в тому, що даний параметр зовсім не вказує який саме функціональний зв'язок є між Х та Y в дійсності, тобто чи є пряма лінія, чи парабола, чи інша функція.

Найпростіші випадки криволінійної кореляції.

Зрозуміло, що зв'язок між Х таY не завжди лінійний. Як це встановити вид функціонального зв’язку?

Краще всього провести, якщо це можливо, теоретичні дослідження опираючись на ряд аксіом та законів фізики, і встановити вид функціональної залежності. При цьому, зрозуміло, випливає ряд параметрів, які встановлюються по експериментальних даних за допомогою найменших квадратів.

Так, якщо у нас наявна параболічна залежність (кореляційна) Y від X

Тобто

Де А, В, С, - невідомі постійні, то, користуючись методом найменших квадратів легко отримати сукупність рівнянь.

Розв’язки яких дають шукані А, В, С, і дають опис кореляційного зв’язку.