Складаємо наступну розрахункову таблицю

Xi	ni	Ui	niUi	niU²i
5	18	- 2	- 36	72
11	20	- 1	- 20	20
17	25	0	0	0
23	37	1	37	37
	100		- 19	129

Отже вибрана нами точка-

= 17 ,

= 1/100 ( - 19) = -0,19

= 17 + ( - 0.19)6 = 15,86

S² = 6² ((1/100)129 – ( - 0,19)²) = 45,14

Відмітимо що при обчислені вибіркової дисперсії для зменшення помилки, викликаної групуванням ( особливо при малому числі інтервалів ) роблять поправку Шеппарда і обчислюють дисперсію за формулою

Отже,групування спрощує обчислення, але при цьому, зрозуміло, втрачається деяка інформація, про що свідчить наявність поправки Шепарда.

Г)Багатовимірні випадкові величини.

Нехай є впорядкована система n випадкових величин .Називатимемо її n- вимірною випадковою величиною і позначатимемо так:

Тоді – це i-та випадкова величина. Упорядковану систему з n випадкових величин можна розглядати і як випадкову точку з координатами у n- вимірному евклідовому просторі .

Щоб задати випадковий вектор,потрібно вказати всі ті значення ,яких він може набувати,і ймовірності,з якими ці значення набуваються.Універсальним способом задання випадкового вектора є задання його інтегральної функції розподілу,яка визначається рівністю:

,

Це ймовірність того,що

Зупинимося детальніше на двовимірному випадку.При цьому нехай ,а .Властивості інтегральної функції розподілу двовимірної випадкової величини аналогічні властивостям функції розподілу випадкової величини.Перерахуємо їх.

1. 

2. Fє неспадна функція по кожній із змінних.

3. ,

4. , ,

Двовимірну випадкову величину називають дискретною ,якщо множина значень,яких вона може набути,є скінченною або зліченою.Для задання такої величини досить задати її можливі значення і ймовірності кожного з них : .Закон розподілу такої величини може бути заданий у вигляді таблиці з двома входами

			……..		…………
			……..		………....
			……..		…………
…….	………	……..	……..	……..	…………	………
			……..		………….
………	…………	……..	……..	…………	…………	…………
			……..		…………	1

Тут використано позначення:

,

З аксіоми адитивності випливає,що

Аналогічно

Таким чином,ймовірності задають розподіл випадкової величини розподіл випадкової величини .При цьому:

Функція розподілу випадкового вектора визначається рівністю

Де сумування поширюється на всі ,для яких а k набуває усіх значень, для яких .

Приклад 1.Якість продукції характеризується двома випадковими параметрами і .Закон розподілу двовимірної випадкової величини задано таблицею :

	5	6	7
0	0,2	0	0	0,2
0,1	0,1	0,15	0	0,25
0,2	0,05	0,15	0,1	0,3
0,3	0,05	0,1	0,1	0,25
	0,4	0,4	0,2	1

Знайти закони розподілу випадкових величин i _.

Доповнимо таблицю рядком і стовпчиком зі знаком ,провівши сумування величин відповідно по рядках і стовпчиках.Тоді очевидно,що закони розподілу випадкових величин i мають вигляд:

			5			6			7
p			0,4			0,4			0,2

	0	0,1	0,2	0,3
p	0,2	0,25	0,3	0,25

Двовимірну випадкову величину називають неперервною,якщо існує така функція p ,що функція розподілу F даної випадкової величини може бути подана у вигляді

Функцію називають щільністю розподілу випадкового вектора .При цьому:

У точках неперервності функції p.

Щільність розподілу має такі властивості:

1. ;

2. .

Знаючи щільність розподілу p двовимірної величини ,легко знайти щільності розподілу для її компонент та .Справді,

Звідки

Аналогічно

І

Нехай задана дискретна двовимірна випадкова величина .Розглянемо функцію розподілу випадкової величини за умови , що набула значення , .Цю функцію позначають .Імовірність того,що набуває значення ,коли набуло значення ,дорівнює

Аналогічно

У випадку неперервного розподілу вектора з’являються умовні щільності роз поділу ,коли , і , коли .Можна довести,що

Випадкова величина називається незалежною від випадкової величини ,якщо розподіл не залежить від того,якого значення набула випадкова величина .Аналогічно визначається незалежність від .Якщо величини і незалежні,то (дискретний розподіл) і (неперервний розподіл).

Приклад 2.Нехай щільність розподілу двовимірної випадкової величини

Знайти функції розподілу випадкового вектора ,випадкових величин і ,умовні щільності розподілу.

Спочатку доведемо коректність означення випадкового вектора :

1. ,що очевидно.

2. 

Знайдемо функцію розподілу даного випадкового вектора :

Для всіх інших точок (x,y) F(x,y)=0 .Очевидно,що при x<0, бо не набуває від’ємних значень ;якщо x>0 ,то:

Далі

.

Аналогічно і .

20