Довірчий інтервал, інтервал надійності оцінки середньоквадратичного відхилення з нормальним законом розподілу.

Нехай випадкова величина Х має нормальний закон розподілу. Нехай приведено вибірку об’ємом “n” і отримане, виправлене, значення вибіркового середньо квадратичного відхилення S. Точне його значення “σ” нам невідоме. Необхідно встановити інтервал надійності, в який ,з імовірністю γ ,потрапляє величина σ генеральної сукупності.

P(|_σ - S|<δ)=γ (1)

У співвідношені (1) γ,S –відомі, задані значення. Не відома величина “ δ ”, бо вона, власне, і визначає інтервал S-δ< σ < S+δ. (1’)

Для цього представимо нерівність інтервалу (1’) у вигляді S(1-) < σ < S(1+).

Введемо змінну q= , яка містить невідоме значення . Тоді S(1-q) < σ < S(1+q). Невідомим є “q”. Побудуємо випадкову величину:

,де “n” об’єм вибірки.

Виявляється, що задана випадкова величина задовольняє хі- квадрат () розподілу, густина розподілу,щільність якого описується функцією

R(x,n)=( (2)

Як бачимо, дана функція залежить виключно від об’єму вибірки “n”.

Шуканий інтервал для знаходження , може бути заданий еквівалентним (1) виразом

<<;

<< (3)

це наша випадкова величина , яка задовольняє рівносильній нерівності

. Тоді відповідне, рівносильне (1) рівняння набуде вигляду

(4)

Із заданого рівняння, по значеннях n і γ, знаходимо “ ” із таблиці 4 Гмурман. А отже встановлюємо інтервал надійності для σ,а саме:.

S(1-q) < σ < S(1+q)

По експериментальному вибірковому набору значень випадкових величин,їх числових характеристик із заданою надійністю γ можна встановити відповідні характеристики генеральної сукупності.

В) .Поняття про умовні варіанти. Метод добутків для знаходження вибіркових середніх і дисперсії.

Нехай зроблена вибірка дає числові значення параметра ,які ми розмістили в порядку зростання ( параметра ) тобто організували варіаційний ряд. Якщо число членів вибірки велике, а числові значення параметра знаходяться між “ а і в ” то можно розбити інтеграл ( а, в ) на “ к ” однакових частин, середини яких позначимо через . Число значень, що потрапили в “і” інтервал ’’ ”. Тобто встановлюється впорядковані пари

Тоді можна провести обчислення математичного сподівання та дисперсії вибірки

X=1/n∑ , де “n” розмір вибірки n= ∑ ni

S² = 1/n∑ - ( )²

Часто числа досить громіздкі, взагалі кажучи не цілі числа. Тому для обчислення суми застосовують метод умовних варіант, метод добутків.

Нехай один із інтервалів, який, для зручності вибирають приблизно посередині інтервалу ( а,b). Бажано, щоб на цьому інтервалі було найбільшим, але дана умова не є обов‘язковою.

Введемо умовні варіанти

Ui = i- , h = (b – a)/k - крок розбиття.

Тоді, довільне значення параметра можна представити:

; ,де i = 1… k

Тоді:

Тоді:

Тоді:

, де

А дисперсія вибірки

,де

Ці формули зручні тим, що умовні варіанти “ ” є цілими числами,бо задають номер інтервалу.

Приклад. За допомогою умовних варіантів обчислити x, і S² для вибірки, якщо розподіл вибірки n = 100 має вигляд:

Xi	2	3	7	9	11	12,5	16	18	23	25	26
ni	3	5	10	6	10	4	12	13	8	20	9

Розіб‘ємо відрізок 2 – 26 на такі 4 – відрізки з кроком h=6 ; відрізки [2,8); [ 8, 14); [ 14, 20); [ 20, 26] взявши середини відрізків за нові значення випадкової величини отримаємо:

x1 =5, x2 =11, x3 = 17, x4 = 23,

При цьому таблиця зменшиться.

Xi	5	11	17	23
ni	18	20	25	37

18+20+25+37=100