Надійний інтервал для математичного сподівання ознаки γ нормальним законом розподілу і відомим середньоквадратичним відхиленням.

Якщо генеральна сукупність випадкової величини має нормальний розподіл з невідомим математичним сподіванням “а” і відомою дисперсією σ² то і вибіркові середні задовольняють нормальний закон розподілу.

Тоді

та σ() = = ;

Необхідно встановити, оцінити значення “”так, щоб в інтервал (-δ +δ) з імовірністю γ попав параметр “а”, тобто щоб виконувалось співвідношення

P(|-a|<δ) = γ

де γ - задана ймовірність виконання даного співвідношення.

Такого роду оцінку ми уже робили для нормально розподіленої випадкової величини, вона описується виразом

P[|-a|<δ]=2ф()= γ.

Останнє співвідношення дає можливість встановити величину інтервалу (точковий параметр δ). Це дійсно повний розв’язок задачі, адже функція Лапласа ф() відома, табулювана і дозволяє легко встановити аргумент по її значенню , а, отже, і інтервал (а-δ, а+δ).

Приклад.

Нехай деяка випадкова величина описується нормальним законом розподілу з заданим середньо квадратичним відхиленням σ=3. Знайти інтервал надійності для оцінки математичного сподівання “а” по вибіркових середніх , якщо об’єм вибірки n=36 і задана надійність оцінки γ=0,95.

Розв. З рівняння , по таблицях, знаходимо аргумент функції t=1,96.

Однак

t=; звідки

Якщо значення = 4,1 отримано експериментально для заданої вибірки ,то

-0,98=3,12; +0,98= 5,08

Отже шуканий параметр “а” попадає, з імовірністю 0,95 ,в інтеграл 3,12÷5,08. Тобто

P(3,12<a<5,08)=0,95. Формально такий запис є не вірним, так як “а” – const і імовірність даного співвідношення або 1, якщо виконується або ж “0”, якщо воно не виконується.

Часто необхідно, по умові дослідження, оцінити об’єм вибірки, тобто обчислити необхідний, мінімальний об’єм вибірки, якщо інтервал заданий. Тобто задано і σ і δ а невідомим є “n”.

Тоді

n = ;

Як і в попередньому випадку “ t ” знаходимо із умови 2ф(t)= γ.

Що ж робити у тому випадку , якщо невідоме?

Інтервал надійності для оцінки математичного сподівання з нормальним розподілом випадкової величини та не відомим значенням σ.

У цьому випадку ми не можемо скористатись попереднім прикладом , так як аргумент функції Лапласа містить дві невідомі величини «a» та «».

Тому, спочатку ,побудуємо по значеннях вибіркових значень середнього та середньо квадратичного відхиленні “S”, для об’єму вибірки “n”, нову випадкову величину

t = ;

яка, як виявляється, підкоряється закону розподілу Стьюдента з “n-1” степенями свободи.

Густина розподілу Стьюдента,щільність розподілу,описується співвідношенням:

де B_n= , Г(x) – це табулювання гамма

функція.

Як бачимо, розподіл Стьюдента визначається тільки об’ємом вибірки і не залежить ні від «а» ні від «». Оскільки S(t,n) парна функція від t то імовірність виконання нерівності

<t_γ

визначається так

P(<t_γ)=.

В даному співвідношенні задані S, n, γ,невідоме – t_γ.

Рівносильне заданому вище є співвідношення

P( t_γ <a< t_γ )=.

Тобто, використавши розподіл Стьюдента ми можемо встановити інтервал надійності знаходження математичного сподівання генеральної сукупності при навідомій σ. Ним є ( t_γ , t_γ ), в який з імовірністю «γ» попадає математичне сподівання генеральної сукупності «а».

По таблиці “3” Гмурман, по відомому n і γ, встановлюємо t_γ.

Наприклад.

Нехай розподіл випадкової величини нормальний. По вибірці з n=16 елементів знайдено=20,2 і S=0,8 - виправлене значення середньо квадратичного відхилення вибірки. Необхідно оцінити невідоме значення математичного співвідношення, при допомозі інтервалу надійності, з надійністю 0,95. Тобто =0.95, n=16,=20,2, S=0,8 знайти t_γ

Розв’язок: Із таблиці “3” Гмурман по =0,95, n=16 знаходимо t_γ =2,13.. Довірним інтегралом для

І так, з ймовірністю =0,95, математичне сподівання знаходиться (потрапляє) в заданий інтервал(19,774;20,626).

n→∞

B_n→;

тобто розподіл Стьюдента при n→∞ переходить у нормальний розподіл.

Як показує практика, при n>30, можна цілком замінити розподіл Стьюдента на нормальний. Якщо ж вибірка мала n<30 то довірчивий інтервал, який дає розподіл Стьюдента, досить широкий, значно ширший в порівнянні з розглянутим вище випадком заданого значення «», це справедливо, оскільки в малі вибірці знаходиться мало відомостей про випадкову величину, та її функцію розподілу.