1.9.2 Вынужденные колебания упругих систем

Рассмотрим вынужденные колебания упругой системы под действием внешних возбуждающих сил , приложенных к сосредоточенным массам. В этом случае уравнения движения примут вид :

( 9.11)

Частное решение системы (9.11) будем искать в виде

( 9.12)

После подстановки (9.12) в (9.11) получаем систему уравнений относительно амплитуд

( 9.13)

Для системы с двумя степенями свободы уравнения (9.13) запишутся

( 9.14)

Решая эту систему уравнений, находим амплитуды вынужденных колебаний

Амплитудные значения сил, действующих на массы, связаны с найденными амплитудами перемещений следующими соотношениями:

( 9. 15)

Если заменить силы, действующие на массы, их амплитудными значениями, то нетрудно построить эпюры динамических моментов

3. Динамический расчет статически определимых систем

ПРИМЕР 16. 1. Определить собственные частоты и формы колебаний упругой балки с двумя сосредоточенными массами (рис .9.2). 2. Определить амплитуды вынужденных колебаний под действием силы , приложенной в точке А. Построить эпюры динамических изгибающих моментов при

Рис.9.2

Решение

В случае плоских колебаний рассматриваемая упругая система имеет две степени свободы. Единичные перемещения определяется по правилу Верещагина, перемножая соответствующие эпюры единичных изгибающих моментов (рис.9.2,б)

Используя формулу (9.7), находим собственные частоты

Определяем далее собственные формы колебаний, подставляя и в выражение (9.8). В результате для собственной формы

или а для второй .

Используя (9.10), убедимся, что полученные собственные формы обладают свойством ортогональ-

ности:

Для определения амплитуд колебаний воспользуемся решением системы (9.14) при

Тогда

( 9.16)

Здесь — определитель системы ( 9.14 ) , описываемый выражением ( 9.7) , если в последнем принять . Нетрудно видеть , что при

( 9.17)

числитель в выражении для обращается в нуль. На этом основан принцип динамического гасителя колебаний. При заданной частоте амплитуды перемещений и сил , действующих на массы определяются следующими выражениями :

Эпюра динамических моментов представлена на рис.9.3

Рис . 9.3.

1.10. УКАЗАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ РАСЧЕТНО — ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ И КУРСОВОЙ РАБОТЫ.

Отчеты по расчетно-графическим и курсовым работам должны соответствовать следующим требованиям :

• оформление работ производится на компьютере;

• текст отчета должен быть напечатан с помощью программы Office Word 2003 шрифтом Times New Roman 14 с полуторным интервалом на одной стороне стандартных A4 (210x297 мм) листов белой бумаги;

• страницы нумеруются, начиная со второй страницы;

• в начале каждой задачи приводится формулировка и выписываются исходные данные для расчета;

• формулы вводятся с помощью редактора формул;

• формулы сначала записываются в буквенных обозначениях величин, а затем в них подставляются их числовые значения;

• нумерация формул и рисунков двойная (первая цифра соответствует номеру задачи, вторая — порядковый номер формулы или рисунка);

• на расчетных схемах значения внешних нагрузок и геометрические размеры указываются в буквенных выражениях в соответствии с индивидуальным вариантом;

• все использованные величины должны сопровождаться указанием размерности;

• схемы и эпюры вычерчиваются с соблюдением масштабов;

• примеры оформления титульного листа для РГР и КР приведены в приложениях 1,2;

• в случае повторного представления отчета на проверку необходимо выполнить все указания и замечания преподавателя, а листы с исправлениями приложить;

Защита работы включает в себя ответы на вопросы преподавателя и решение одной или двух задач по теме работы.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ. Справочные материалы.

Таблица 2.1