§1.3. Равномерное и равнопеременное движения.

1. Взаимосвязь трех кинематических характеристик: закона движения, скорости и ускорения, рассмотренная в предыдущем параграфе, позволяет найти по одной известной кинематической характеристики остальные две. В предыдущем параграфе мы рассмотрели, как, зная закон движения, найти скорость и ускорение м. т. в любой момент времени. В этом параграфе рассмотрим решение обратной задачи кинематики: найти скорость как функцию времени и получить закон движения, зная зависимость ускорения от времени. Проделаем это на примерах равномерного и равнопеременного движений. Убедимся в том, что известные из школы формулы можно легко вывести, а не запоминать.

2. Равномерным называется движение, когда скорость не изменяется по величине, следовательно, тангенциальное ускорение a_ =0. Учитывая, что a_=, получаем: , т.е. υ==const. Находим первообразную (интегрируем) и получаем формулу равномерного движения:

s=s_o+υt (1.3.1)

Здесь s_o –координата тела на траектории в начальный момент времени t=0. Если начало отсчета совместить с начальным положением тела, то s_o=0, и s = υt.

3. Равнопеременным называется движение с постоянным ускорением =const. По аналогии с проделанным в предыдущем п.1, проинтегрируем формулы (1.2.11) и (1.2.6):

(1.3.2)

(1.3.3)

В этих формулах и - начальная скорость и начальный радиус-вектор м.т (при t=0).

4. Примером равнопеременного движения является свободное падение тела, при этом тело движется с ускорением свободного падения g=9,8 м/с², направленным отвесно вниз к земле. Рассчитаем траекторию свободного падения тела, брошенного горизонтально с некоторой высоты над поверхностью земли. Тело движется в вертикальной плоскости и имеет две степени свободы, так что нарисуем две оси декартовых координат, поместив начало отсчета в точку старта тела. Ось x направим горизонтально, ось y направим вертикально вниз (рис.6). Закон движения тела имеет вид (1.3.3), причем, r₀=0, вектор начальной скорости направлен по оси х. Запишем этот закон в проекциях на оси координат:

x=υ₀t

y=gt²/2.

Мы получили уравнение траектории (линии), заданное параметрически. Выразим из первого уравнения t, подставим его во второе: у=. Итак, при свободном падении тело летит по параболе. На практике такому движению мешает сопротивление воздуха, так что полученный нами результат приближенный.

§ 1.4. Кинематика вращательного движения.

Абсолютно твердое тело (а.т.т.) - еще одна модель механики. Она учитывает размеры и форму тела, но пренебрегает их изменением при движении, т.е. деформациями. А.т.т. можно считать системой материальных точек, взаимное расположение которых не изменяется. Любое движение а.т.т. можно представить как сумму поступательного и вращательного движений. При поступательном движении все точки тела имеют одинаковые скорости и одинаковые ускорения в любой момент времени. При вращательном движении траектории всех точек тела – окружности, их плоскости совпадают или параллельны друг другу, а центры лежат на одной прямой (ее называют ось вращения). На рис. 7 представлены два положения движущегося твердого тела, они обозначенные числами 1 и 2. Траектория движения некоторой точки А тела указана пунктиром. Перемещение тела из положения 1 в положение 2 может быть осуществлено разными способами. Две возможных комбинации поступательного и вращательного движений показаны промежуточными положениями тела. Первый вариант: сначала поступательное движение 11, затем вращательное 11, и опять поступательное 12. Второй вариант: сначала поступательное движение 12, затем вращательное 22. Можно рассмотреть еще множество разных вариантов, но в любом из них угол поворота тела  будет один и тот же, а вот скорость поступательного движения может быть различной.

Из рассмотренного ясно, что поступательное движение тела сводится к движению точки. Освоив кинематику вращательного движения, мы сможем справиться с кинематикой произвольного движения тела.

2. На рис.8 показано а.т.т. произвольной формы, вращающееся вокруг вертикальной оси, закрепленной в неподвижных подшипниках, изображенных скобочками. Указаны траектории движения двух точек тела. Радиусы и плоскости окружностей, описываемых этими точками, различны, а вот центральные углы, на которые опираются дуги, описанные разными точками при вращении тела, одинаковы. Из этих рассуждений следует, что вращающееся тело имеет всего одну степень свободы: i =1. Его положение в пространстве задает одна координата - угол поворота тела  относительно некоторого положения, выбранного за начало отсчета. Закон вращательного движения выражает уравнение

 = (t) (1.4.1)

Разность угловых координат в конечный t₂ и начальный t₁ моменты времени равна пути при вращении, измеряемом углом  = ₂ - ₁. Малые угловые перемещения (2) можно считать векторами¹, будем их обозначать . Этот вектор направлен вдоль оси в соответствии с правилом правого винта, т.е. указывает направление вращения тела, и не имеет фиксированной точки закрепления. Такой вектор называется аксиальным (осевым) в отличие от полярных векторов ,,, рассмотренных нами в § 1.2.

Быстроту вращения характеризует угловая скорость .

Средняя угловая скорость

<>= /t (1.4.2)

Мгновенная угловая скорость

(1.4.3)

Быстроту изменения угловой скорости описывает угловое ускорение . Его среднее значение

<> =  /t (1.4.4)

Мгновенное угловое ускорение

(1.4.5)

и - аксиальные векторы, направленные вдоль оси, как и . Направление вектора угловой скорости определяет правило правого винта, а направление вектора углового ускорения зависит от знака изменения угловой скорости: при ускоренном вращении и направлены вдоль оси в одну сторону, при замедленном – в противоположные стороны. В СИ угловая координата измеряется в радианах (рад), угловая скорость в рад/с, угловое ускорение в рад/с².

3. Найдем связь между линейными и угловыми кинематическими характеристиками точки вращающегося тела. На рис. 9 показана траектория некоторой точки тела, отстоящей от оси вращения на расстоянии R, ее линейная скорость и угловая скорость. За промежуток времени t тело повернулось на угол , а точка прошла путь s. Очевидно, s=R. Исходя из определений линейной и угловой скоростей (формулы 1.2.8 и 1.4.3) получаем:

υ=R (1.4.6)

Используя формулы (1.2.13) и (1.2.15), получаем:

a_ =  R (1.4.7)

a_n= ²R (1.4.8)

Обратите внимание, что нормальное ускорение всегда бывает у точек вращающегося тела, а тангенциальное только при неравномерном вращении.