§1.2. Кинематика материальной точки.

1.Задача кинематики – описание механического движения. Кинематические характеристики – закон движения (в быту мы его обычно называем расписанием), скорость и ускорение. Знание одной из них как функции времени позволяет найти остальные две, и мы этим постоянно пользуемся в своей жизни.

2. Для теоретического описания физических объектов используют их модели. Простейшая модель механики – материальная точка. Материальной точкой или частицей называют тело, размеры которого, форма, внутренняя структура и протекающие в нем процессы в данной задаче не влияют на его движение. Например, рассматривая орбитальное движение Земли вокруг Солнца, ее можно считать материальной точкой. В других задачах, например, при изучении процессов, происходящих в земной коре (землетрясение), модель материальной точки неприемлема. Следует помнить о том, что в классической механике частицы должны быть классическими телами, а не квантовыми. Столь маленькие с обыденной точки зрения объекты, как электроны, создающие изображение на экране кинескопа, вполне соответствуют модели материальной точки, тогда как такие же электроны при своем движении в атоме являются квантовыми объектами, и модель материальной точки к ним не применима.

3. Закон движения известен, если известно положение тела в пространстве в каждый момент времени. Этот закон может быть задан таблицей, графиком, уравнением (его называют кинематическим уравнением движения).

Положение материальной точки в пространстве указывает радиус - вектор , проведенный из начала отсчета в точку, где находится тело (рис. 2). При движении этот вектор изменяется со временем t, так что закон движения в векторной форме выражает уравнение:

(1.2.1)¹

В декартовой системе координат этот же закон движения в координатной форме выражают три скалярных уравнения:

x=x(t)

y=y(t) (1.2.2)

z=z(t)

Согласие между законами движения в векторной (1.2.1) и в координатной (1.2.2) формах есть выражение принципа независимости движения: пространственное движение м.т. можно представить как сумму трех прямолинейных движений вдоль осей координат.

Линия, по которой движется тело, называется траекторией. Уравнение траектории задано законом движения. Закон движения в координатной форме (1.2.2) задает это уравнение в параметрической форме, где параметром является время t . Подчеркнем, что понятие траектории применимо только в классической физике, для квантовых частиц оно теряет смысл

Минимальное число параметров (координат), задающих положение тела, называется его числом степеней свободы – i . На рис 1 рассмотрено трехмерное движение м.т. ( i =3), движение по известной поверхности имеет две степени свободы и называется двухмерным, движение по известной траектории (например, поезда по рельсам или автомобиля по шоссе) называется одномерным. При одномерном движении закон движения превращается в одно скалярное уравнение:

s = s(t) (1.2.3)

В приведенном уравнении s – координата точки траектории. Если s=0 – тело находится в начале отсчета, если s>0 или s <0 – тело смещено на расстояние s, измеренное вдоль траектории от начала отсчета соответственно в положительном или в отрицательном направлениях.

4. Следующая кинематическая характеристика движения – скорость – характеризует быстроту изменения положения тела в пространстве. Пусть положение тела в момент времени t₁ указывал радиус – вектор , а в момент времени t₂ радиус - вектор . Вектор перемещения (рис.3)

(.1.2.4)

Путь s – расстояние, пройденное телом по траектории. При движении по прямолинейной траектории в одном направлении модуль вектора веремещения и пройденный путь равны друг другу: = s. Заметим, что по определению, путь – положительная арифметическая величина. Если направление движения тела изменяется на противоположное, то путь равен сумме длин, измеренных вдоль траектории, при любом направлении движения. Например, когда мы ушли из дома, а потом вернулись домой, то вектор перемещения равен нулю, а вот пройденный путь, и об этом свидетельствует наша усталость, совсем не равен нулю. В случае движения по криволинейной траектории, а также при изменении направления движения по траектории любой формы s.

Вектор средней скорости за промежуток времени t = t₂ – t₁ равен:

<>= (1.2.5)

Направление вектора средней скорости совпадает с направдением вектора перемещения. Из рис. 2 видно, что если рассматриваемый участок пути разделить на два одинаковых, то на каждом из них векторы средних скоростей будут различаться, так что <> - довольно грубая характеристика движения. Для получения более точной характеристики надо рассматривать маленькие участки траектории, которым соответствуют маленькие промежутки времени. Предел выражения (1.2.5) при стремлении промежутка времени t к нулю дает мгновенную скорость. В математике такую операцию называют нахождением производной, так что по определению вектор мгновенной скорости

(1.2.6)

Направлен по касательной к траектории, так что ему можно придать вид:

(1.2.7)

где υ – модуль скорости, - касательный орт, т.е. единичный вектор, направленный по касательной к траектории.

На практике зачастую интерес представляет только численное значение скорости. Его легко найти, когда закон движения задан в скалярной форме (1.2.3), продифференцировав его:

υ = (1.2.8)

Скорость будет выражаться положительным числом при движении тела по траектории в положительном направлении и отрицательным при движении в отрицательном направлении.

Когда закон движения задан в координатной форме (1.2.2), то следует найти проекции вектора скорости на координатные оси как первые производные по времени от соответствующих координат, а затем найти модуль вектора скорости:

υ_x=, υ _y=, υ _z=, v= (1.2.9)

5. Ускорение характеризует быстроту изменения скорости. На рис. 4 показаны два положения на траектории движущейся частицы, соответствующие им скорости и , и приращение скорости . Вектор среднего ускорения

<>= (1.2.10)

При уменьшении промежутка времени t и стремлении его к нулю предел выражения (1.1.10) дает определение мгновенного ускорения:

(1.2.11)

Из рис. 4 следует, что при движении по криволинейной траектории вектор ускорения направлен под углом к вектору скорости внутрь траектории. При прямолинейном движении вектор ускорения совпадает с вектором скорости при ускоренном движении и противоположен ему при замедленном. Всякий вектор, в том числе и , имеет две характеристики – модуль и направление, они могут изменяться независимо друг от друга. Используя формулы (1.2.7) и (1.2.11), получаем:

(1.2.12)

Вектор ускорения состоит из двух слагаемых – тангенциального и нормального ускорений. Первое слагаемое – тангенциальное ускорение – направлено по касательной к траектории и указывает на изменение модуля скорости. При убыстрении движения и направлены в одну сторону, при замедлении они противоположны. Величина тангенциального ускорения

a_= (1.2.13)

Второе слагаемое – нормальное ускорение – связано с изменением направления скорости. Это хорошо известное из школьного курса физики центростремительное ускорение при равномерном движении тела по окружности. Оно направлено по радиусу к центру окружности и равно:

(1.2.14)

R – радиус кривизны траектории, т.е. радиус соприкасающейся окружности, дугой которой можно заменить бесконечно малый участок кривой в окрестности данной ее точки. Задав в этой точке орт нормали , направленный по радиусу окружности в ее центр, получаем:

(1.2.15)

На рис 5 показан небольшой кусочек траектории, где в данный момент времени находится движущаяся частица. Орты касательный и нормали взаимно перпендикулярны, соответственно, перпендикулярны друг другу тангенциальное и нормальное ускорения, а полное ускорение равно:

(1.2.16)

Если закон движения задан в координатной форме, то модуль ускорения можно вычислить аналогично модулю скорости (формула 1.2.9) так:

= (1.2.17)

Для вычисления проекций вектора ускорения на оси координат можно воспользоваться формулами:

, , (1.2.18)