§ 6.3 Изопроцессы.

При изопроцессах во всех промежуточных состояниях термодинамической системы какой-либо ее параметр имеет неизменное значение. Рассмотрим такие процессы с точки зрения первого начала термодинамики.

1. При изохорном процессе не изменяется объем газа: V=const, а давление и температура изменяются пропорционально друг другу. При неизменном объеме газ не совершает механическую работу, и переданное ему извне тепло целиком превращается во внутреннюю энергию¹:

Q_V=U=RT (6.3.1)

Способность тела нагреваться при сообщении ему тепла характеризует теплоемкость. Различают удельную и молярную теплоемкости. Будем их обозначать соответственно строчной (маленькой) и прописной (заглавной) буквами: с и С. Напомним: Q=mcT=CT. Из этих формул следует, что C=Mc. При разных процессах подвода тепла газ нагревается по-разному. Теплоемкость газа при конкретном процессе обозначают соответствующим индексом. Для молярной теплоемкости идеального газа при постоянном объеме получаем, используя формулу 6.3.1:

C_V =R (6.3.2)

Анализируя формулу 6.3.2, видим, что молярная теплоемкость зависит от числа степеней свободы молекулы и одинакова для любых газов, молекулы которых содержат одинаковое число атомов. Экспериментальные исследования показали, что для газов, в частности, для молекулярного водорода (Н₂) при температурах не слишком низких или не слишком высоких по сравнению с обычными (10² К<T<10³ K) эта формула дает хорошее согласие с опытом. При низких температурах теплоемкость двухатомного газа такова, как если бы его молекула имела не пять, а только три степени свободы, соответствующие ее поступательному движению. При высоких температурах у двухатомной молекулы появляются еще две степени свободы, т.е. кроме поступательного и вращательного у молекулы появляются дополнительные виды движения. Объяснение этому дает квантовая механика. Мы уже упоминали, что классическая модель идеального газа, как и всякая физическая модель, имеет определенную область применения, и реальный газ можно считать идеальным только при условиях, мало отличающихся от обычно встречающихся в природе.

Отметим еще раз, что внутренняя энергия является функцией состояния тела, и ее изменение одинаково для любых процессов, связывающих начальное и конечное состояния системы. В частности, как видно из рассмотренного, для идеального газа при любом процессе

U=C_VT (6.3.3)

2. Изобарный процесс: р=const. Работа газа (см. формулы 6.2.3 и 5.3.2)

А=рV=RT (6.3.4)

Изменение температуры газа при сообщении ему тепла Q_p зависит от теплоемкости газа при постоянном давлении С_р:

Q_p= С_р T (6.3.5)

Из формул 6.2.4, 6.3.3, 6.3.4 и 6.3.5 получаем:

С_р= C_V+R (6.3.6)

Этот результат имеет ясный физический смысл. При нагревании газа при постоянном объеме все тепло идет на увеличение внутренней энергии. При нагревании при постоянном давлении помимо этого тепло идет на совершение работы по расширению газа. В результате молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении больше его молярной теплоемкости при постоянном объеме на величину газовой постоянной. Из формул 6.3.6 и 6.3.2 следует:

С_р= (6.3.7)

Отметим, что, зная число степеней свободы молекулы i и одну из величин Q, U, A, остальные две нетрудно найти. Получите эти формулы самостоятельно.

3. Изотермический процесс: Т=const. В этом процессе внутренняя энергия не изменяется, и все переданное газу тепло идет на совершение работы: Q=A. Уравнение изотермического процесса pV = const, на pV- диаграмме его график - гипербола (рис. 26). Выведем формулу работы при изотермическом процессе, используя формулу (6.2.3) и уравнение Менделеева – Клапейрона:

A= (6.3.8)

При изотермическом процессе T =0 при сообщении телу любого количества тепла. Из определения теплоемкости следует, что C_T =, поэтому иногда про изотермический процесс говорят как про процесс, происходящий с телом с бесконечной теплоемкостью.

4. Адиабатный процесс происходит в теплоизолированной системе, когда ни в нее, ни из нее не проникает тепло: Q=0. Этот процесс называется еще изоэнтропийным¹: S = const. Из первого начала термодинамики следует: U+A=0, и A= -U. Работа газа при расширении положительная, при адиабатическом процессе она происходит за счет уменьшения его внутренней энергии. Это значит, что при адиабатном расширении газ охлаждается, а при адиабатном сжатии нагревается. Такие примеры хорошо известны из повседневной практики. Быстро протекающие процессы, когда не успевает происходить теплообмен с окружающей средой, приближаются к адиабатным. Вероятно, Вы замечали, что при накачивании насосом камеры велосипедной или автомобильной шины насос нагревается тем больше, чем быстрее Вы работаете. При накачивании воздух сжимается и нагревается, если не успевает происходить теплообмен. Процесс распространения звука в воздухе связан с быстрым расширением и сжатием малых объемов воздуха с частотой звуковых колебаний (несколько тысяч раз в секунду), и он приблизительно адиабатный.

Выведем уравнение адиабаты, связывающее параметры состояния газа при адиабатном процессе. Для него dA=-dU, т.е. pdV=-C_VdT. Продифференцировав уравнение состояния, получаем:

pdV+Vdp=RdT. Из двух последних уравнений следует: pdV+Vdp=- и далее:

(1+) pdV+Vdp=0. Учитывая, что , и обозначая

 == (6.3.9)

перепишем предыдущее дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными так: , проинтегрируем его: lnp+lnV=ln const и после потенцирования получим уравнение адиабатного процесса:

pV^= const (6.3.10)

Это уравнение называют уравнением Пуассона. Пользуясь уравнением Клапейрона – Менделеева, уравнение адиабаты можно записать еще так¹: TV^-1= const или так: p^1-T^= const.

 - безразмерная величина, называется показателем адиабаты. Его значение больше единицы и зависит от числа степеней свободы молекулы (см. формулу 6.3.9). Сравнивая уравнение Пуассона с уравнением изотермы (pV= const) видим, что на pV- диаграмме график адиабаты похож на график изотермы, но более крутой (рис.27). Из рисунка видно, что при одинаковом расширении газа работа в изотермическом процессе больше, чем при адиабатном. При сжатии результат обратный (сравните площади под соответствующими графиками).