§ 5.6. Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

1. Атмосферное давление создает сила тяжести столба воздуха, высота которого по мере подъемы над поверхностью земли уменьшается, соответственно, уменьшается атмосферное давление. Зависимость атмосферного давления от высоты над поверхностью земли выражается барометрической формулой. Получим ее, используя следующую модель:

• атмосферный воздух является идеальным газом,

• изменением ускорения свободного падения при удалении от земли в пределах земной атмосферы (ее толщина около 20 км) можно пренебречь,

• изменением температуры воздуха при удалении от земли в пределах земной атмосферы можно пренебречь (температура за бортом самолета, выполняющего полет на высоте 10 км, ниже на несколько десятков Кельвинов по сравнению с 300 К на земле).

Мысленно выделим из земной атмосферы вертикальный столб воздуха в виде цилиндра с площадью сечения S (рис. 23). Hа высоте h+dh атмосферное давление уменьшается на dp по сравнению с высотой h, так как на сечение S на этой высоте не давит сила тяжести массы воздуха dm, заключенного между указанными на рисунке сечениями. Пренебрегая изменением плотности газа  в элементарном объеме газа dV=Sdh, получаем: . Выражая плотность из уравнения Клапейрона - Менделеева, находим:

. Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Его интегрирование дает: . Найдем постоянную интегрирования из условия: при h=0 p=p₀ – так обозначим давление на поверхности земли, и получим барометрическую формулу:

(5.6.1)¹

Вывод: атмосферное давление экспоненциально уменьшается с увеличением высоты над поверхностью земли, причем, летом это изменение происходит медленнее, нежели зимой (влияет температура Т). Физический механизм этого понятен: тепловое движение стремится «увести» молекулы как можно дальше друг от друга, и повышение температуры – меры средней энергии хаотического движения - способствует этому, тогда как сила тяжести стремится все молекулы воздуха прижать к поверхности земли. Отсутствие атмосферы на луне есть следствие того, что сила тяжести там примерно в 6 раз меньше земной.

2. Преобразуем формулу (5.6.1), учитывая, что p=nkT, Mgh/R=m₀ Nagh/R=m₀ gh/kT и потенциальная энергия частицы в поле силы тяжести E=m₀gh. Получаем формулу распределения Больцмана:

(5.6.2)

Эта формула выражает зависимость концентрации частиц от величины их потенциальной энергии. Мы получили ее для частного случая поля силы тяжести. Однако эта формула применима для любого потенциального силового поля и представляет собой закон физики о распределении числа классических частиц по уровням энергии.

Действие этого закона проявляется и в социальной жизни: чем больше социальная значимость человека, измеряемая его общественной пользой, тем выше та ступенька общественной лестницы, на которой он находится, и тем меньше людей на этой ступеньке. Напомним, что энергия характеризует способность совершать работу, так что высота ступеньки общественной лестницы измеряется общественно значимой работой.