§ 4.4. Уравнение динамики вращательного движения.

1. Еще раз напомним, что уравнение динамики (его также называют основным законом динамики) позволяет рассчитать закон движения тела, если известно оказываемое на него внешнее воздействие и начальное состояние. Уравнением динамики поступательного движения (или м.т.) является второй закон Ньютона (§ 2.2). Получим аналогичный физический закон для вращательного движения.

2. Пусть а.т.т. вращается под действием внешней силы. Ее работа на элементарном перемещении dA=Md идет на приращение кинетической энергии тела dE=d(I²/2), его потенциальная энергия измениться не может – тело не изменяет свою высоту над землей и не деформируется. Для а.т.т. момент инерции I=const, так что dE=Id . Учитывая, что dA= dE, получаем: Md =Id . Поделим обе части полученного уравнения на рассматриваемый промежуток времени dt, и, используя формулы кинематики d/dt =, d /dt =, получаем:

I =M (4.4.1)

Эта формула выражает уравнение динамики вращательного движения или, его другое название, основной закон динамики вращательного движения. Он, как и уравнение динамики поступательного движения, констатирует, что причиной изменения скорости служит внешнее воздействие. Этому же закону можно придать другой вид : , откуда следует:

d(I)=Mdt (4.4.2)

Mdt называют импульсом момента силы.

3. Уравнение динамики вращательного движения (4.4.1) применимо и тогда, когда на тело действует несколько моментов сил. В этом случае ускорение определяет их равнодействующая. Учитывая, что угловое ускорение и момент силы относительно оси – аксиальные векторы, запишем основной закон динамики в векторной форме:

(4.4.3)

Еще раз обсудим, почему формула (4.4.3) есть уравнение динамики вращательного движения. Знание моментов сил позволяет найти угловое ускорение, которое, по определению, есть вторая производная по времени от закона движения. Таким образом, уравнение (4.4.3) есть дифференциальное уравнение второго порядка. Дважды проинтегрировав это уравнение и зная начальное состояние тела (его местоположение и скорость в начальный момент времени), получим полную информацию о состоянии тела в любой момент времени.

§ 4.5. Закон сохранения момента импульса

1. Движущееся тело сразу остановиться не может, время торможения зависит от интенсивности внешнего воздействия и от «запаса движения». Для материальной точки или поступательно движущегося тела «запас движения» измеряется импульсом . При вращении тела его «запас движения» также зависит от инертности тела и его скорости и называется моментом импульса:

(4.5.1)

Момент импульса – аксиальный вектор, его единица в СИ обозначается (кг^.м²/с). Основной закон динамики вращательного движения (4.4.2) констатирует, что момент импульса изменяется под действием момента силы, и это изменение пропорционально времени воздействия.

2. Рассмотрим тело как систему материальных точек, и воспользуемся соответствующим определением момента инерции (формула 4.1.1): L=I=m_ir_i² =m_iv_i r_i. Мы получили, что момент импульса а.т.т. равен сумме моментов м.т., образующих это тело. Момент импульса м.т. массы m, движущейся со скоростью v по окружности радиусом r равен:

L=mvr (4.5.2)

На рис. 19 изображена такая точка: ось вращения лежит в плоскости рисунка, на рисунке указаны векторы - положение точки на траектории, - ее скорость, - момент импульса точки, - угловая скорость тела. Вектор момента импульса м.т. определяется векторным произведением:

(4.5.3)

Напомним, - импульс точки.

Момент импульса тела складывается из моментов импульсов всех его точек:

(4.5.4)

Отметим, что полученная нами формула (4.5.4) применима для определения момента импульса любой системы тел, а не только совокупности м.т., образующих а.т.т.

3. Рассмотрим систему тел. Каждое из них подчиняется основному закону динамики вращательного движения: . Просуммируем эти формулы по всем телам системы. Напомним, что силы взаимодействия тел системы друг с другом и, соответственно, моменты этих сил, называются внутренними и, согласно третьему закону Ньютона, уравновешивают друг друга. В результате сложения получим в левой части уравнения изменение момента импульса системы, а в правой части сумму моментов внешних сил – их равнодействующую. Уравнение примет знакомую нам форму . В замкнутой системе тел , поэтому изменение момента импульса . Это проявление закона сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел, равный векторной сумме моментов импульса всех ее частей, сохраняется:

(4.5.5)

Есть много знакомых каждому из нас примеров проявления закона сохранения момента импульса: акробат выполняет сальто, балерина или фигурист выполняют пируэты, гироскоп (автопилот), опыты со скамьей Жуковского (вспомните лекционные демонстрации).

4. Приведенные выше рассуждения не следует считать выводом закона сохранения импульса, они разъясняют связь между разными законами, действующими в определенной физической системе. Применительно к системе материальных точек (§ 3.2), мы уже обсудили тот факт, что законы Ньютона и закон сохранения импульса – проявление одних и тех же свойств природы. Так и для системы вращающихся тел закон сохранения момента импульса и основной закон динамики вращательного движения взаимосвязаны. Напомним (см. § 3.1), что закон сохранения момента импульса называется фундаментальным, т.к. имеет самую широкую область применения (он «фундаментальнее» основного закона динамики вращательного движения) и есть следствие изотропности пространства.