§ 4.3. Работа и мощность при вращательном движении. Момент силы относительно оси

1. Тело может вращаться вокруг неподвижной оси. В точке А (рис.18 - а) к нему приложена сила . При вращении тела точка А описывает окружность радиусом r. Найдем работу силы, для чего разложим ее на две составляющие: одна параллельна оси вращения - , а другая лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения - . Очевидно, что не участвует во вращении тела. Она перпендикулярна перемещению, и ее работа равна нулю. Составляющая лежит в плоскости траектории, описываемой точкой А (рис. 18-б), и образует угол  с радиусом окружности. Перемещение s направлено по касательной к траектории. Напомним, что касательная и радиус окружности взаимно перпендикулярны. Элементарная работа силы (см. формулу 2.4.2) dA=F_ ds sin rd.¹. Учитывая, что ds = rd, где d -угловое перемещение тела, а rsin=d (см. рис 18-б). d – это длина перпендикуляра, опущенного из оси вращения (точка О) на линию действия силы F_, называется плечом силы. Итак, dA=F_d^.d . Первые два сомножителя в этой формуле определяются силой и тем, где и как она приложена к телу. Их произведение называется моментом силы относительно оси:

M = F_d (4.3.1)

Заметим, что при вращательном движении тела мерой внешнего воздействия на него служит момент силы.

2. Формула работы при вращении тела под действием момента силы из начального положения с угловой координатой ₁ в конечное положение с угловой координатой ₂ принимает вид:

(4.3.2)

Для постоянного момента силы:

A=M (4.3.3)

Мощность при вращении:

(4.3.4)

3. Подробнее рассмотрим физический смысл характеристики внешнего воздействия на тело, имеющего ось вращения. Она называется моментом силы относительно оси. Представьте себе, что Вы хотите открыть дверь, прикладывая силу к ручке двери. Если эта сила параллельна оси или лежит в плоскости двери, то она не сдвинет дверь с места. Вы хорошо представляете, как надо приложить силу, чтобы получить нужный результат. Наибольшее воздействие оказывает сила, перпендикулярная плоскости двери. Если такую же силу приложить в точке, находящейся ближе к оси вращения, то эффект ее воздействия уменьшится. Таким образом, внешнее воздействие на вращающееся тело зависит не только от величины силы, но и от точки ее приложения и от направления по отношению к оси вращения. Совокупность этих факторов отражается в определении момента силы относительно оси вращения (формула 4.3.1): M = F_d. Итак, мерой внешнего воздействия на вращающееся тело является момент силы. Его единица измерения в СИ называется ньютон-метр и обозначается Н^.м.

Рассматривая кинематику вращательного движения (§ 1.4), мы встретились с аксиальными (осевыми) векторами:. Момент силы относительно оси также аксиальный вектор: он направлен по оси вращения в соответствии с правилом правого винта. Посмотрите на рис.18 и определите направление вектора : вниз по оси на рис.а) и перпендикулярно плоскости рисунка от нас на рис. б). На рис. 18-б) изображена траектория точки приложения силы при вращении тела - окружность радиуса r. Задав положение этой точки вектором , модуль которого равен радиусу окружности, получаем векторную формулу:

(4.3.5)¹

Самостоятельно убедитесь, что модуль вектора момента силы выражается уже знакомой нам формулой (4.3.1).