§ 3.4. Столкновения тел

1. Столкновением (ударом) называется процесс, когда тела, первоначально удаленные друг от друга так, что их взаимодействием можно пренебречь, сближаются и непродолжительное время энергично взаимодействуют друг с другом. После удара взаимодействие тел прекращается. Столкновения подразделяются на упругие и неупругие. Как правило, силы, действующие во время удара, изменяются довольно сложным и не всегда известным образом, поэтому решить уравнения движения непросто. Но если речь ведется не о процессе взаимодействия, а об его результате, то законы сохранения легко дают ответ на этот вопрос. Изменение скоростей сталкивающихся тел происходит в результате их взаимодействия друг с другом, поэтому система тел является замкнутой, и ее импульс сохраняется. При упругом ударе внутренние силы консервативные, так что в этом случае выполняется закон сохранения механической энергии.

2. Упругий удар. При столкновении упругие тела деформируются, возникающие при этом упругие силы уменьшают скорость их относительного движения до нуля, превращая кинетическую энергию относительного движения в потенциальную энергию упругой деформации. В следующий момент упругие силы начинают расталкивать тела, у них опять появляется и растет скорость относительного движения вплоть до момента исчезновения деформаций. К этому времени тела опять движутся независимо друг от друга каждое со своей скоростью. После упругого удара внутренние состояния и формы тел (если нельзя пренебречь их размерами) не изменяются. Рассматриваемые тела образуют замкнутую консервативную систему, в ней выполняются законы сохранения импульса и механической энергии:

(3.4.1)

(3.4.2)

Здесь индексы 1 и 2 указывают номера тел, v и u – скорости тел соответственно до и после удара. В начальный момент тела еще не столкнулись, в конечный момент столкновение уже закончилось, и механическая энергия состоит только из кинетической энергии, потенциальная энергия взаимодействия отсутствует. Система из двух уравнений позволяет найти две неизвестных величины, например, скорости обоих тел после упругого удара. Рассмотрим некоторые частные случаи.

а) Движущееся тело стакивается с покоящимся, массы тел одинаковы. Законы сохранения примут вид: ; v₁²=u₁²+ u₂². Обратите внимание: один вектор равен сумме двух других (вспомните правило треугольника), и для этого треугольника выполняется теорема Пифагора. Вывод: после такого удара тела разлетаются под прямым углом. Такую ситуацию можно встретить на биллиардном столе, если удар не крученый.

б) Центральный удар. Удар шаров называется центральным, если их скорости до удара направлены по одной прямой, проходящей через их центры, и вращение шаров отсутствует. Такой удар может произойти, когда шары движутся навстречу друг другу, или один шар догоняет другого. После удара скорости по-прежнему направлены вдоль той же прямой, что до удара, и векторное уравнение закона сохранения импульса (3.4.1) превращается в скалярное:

m₁v₁+m₂v₂=m₁u₁+m₂u₂. (3.4.3)

Направление скоростей тел учитывается знаком: изменение направления движения отражается в изменении знака скорости на противоположный. Формула (3.4.2) закона сохранения энергии останется неизменной. Перепишем формулы (3.4.3) и (3.4.2) так:

(3.4.4)

(3.4.5)

Преобразуем эту систему из двух уравнений с двумя неизвестными, причем, первое оставим без изменения, а другое получим, поделив (3.4.5) на (3.4.4):

v₁+ u₁ = v₂+ u₂

Результат решения: и . Обратите внимание на симметрию полученных формул: замена индекса 1 на индекс 2 превращает одну формулу в другую. Заметим, что это следствие симметрии уравнений системы относительно замены индекса.

Проверим полученные результаты на простом примере, который хорошо известен из опыта: движущийся биллиардный шар ударяет покоящийся, удар центральный. Наши формулы дают ожидаемый результат: шары обменяются скоростями – первый остановится, зато второй начнет двигаться.

3. Неупругий удар. После столкновения тела движутся с одинаковыми скоростями , «сцепившись» друг с другом, но суммарный импульс сохранится – система замкнутая:

(3.4.6)

При центральном неупругом ударе уравнение закона сохранения импульса превратится из векторного в скалярное:

(3.4.7)

Система тел неконсервативная, в ней действуют неупругие силы, работа которых частично превращает механическую энергию в тепло: .

Потери механической энергии зависят от соотношения масс тел и их скоростей. Если движущееся тело неупруго сталкивается с покоящимся, то доля потерь механической энергии зависит только от соотношения их масс. Выведите формулу, какая доля механической энергии в этом случае превращается в тепло, и проанализируйте ее для двух случаев неупругого удара: забивание гвоздя или ковка детали. Тогда станет понятнее, почему молоток должен быть значительно массивней гвоздя, а наковальня значительно массивней детали.