12.13. Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами

а) Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система уравнений вида:

В этой системе уравнений неизвестными являются n функций , а независимой переменной – .

Особенности нормальной системы дифференциальных уравнений:

1) Все входящие в систему уравнения являются уравнениями первого порядка

2) Все уравнения системы разрешены относительно производных искомых функций

Если нормальная система уравнений (60) линейна, а коэффициенты при неизвестных функциях постоянны, то она имеет вид:

Все искомые функции входят в систему (61) в первой степени, а функции - функции независимой переменной , по которой вычислены производные.

Если все эти функции равны нулю, то система (61) называется однородной, а если хотя бы одна из них не равна нулю – неоднородной.

Число произвольных постоянных, входящих в общее решение нормальной системы уравнений, равно числу неизвестных функций, входящих в систему. Произвольные постоянные определяются из начальных или краевых условий.

Способ интегрирования нормальных систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами покажем на примере однородной системы из трех уравнений.

Пример 19. Найти общее решение системы

(A)

Решение: Неизвестными функциями являются , а независимой переменной – .

Приведем решение этой системы к решению одного уравнения, порядок которого равен числу уравнений, входящих в систему.

Для этого любое из уравнений системы продифференцируем по и заменим в полученном уравнении производные и их выражениями из системы.

Поступая так, например, с первым уравнением, получим .

Заменим в этом уравнении производные , стоящие в правой части, их выражениями из второго и третьего уравнений заданной системы и получим уравнение

, откуда после приведения подобных членов в правой части найдем (B)

Это уравнение опять дифференцируем по и получим

Снова заменим в правой части производные и их выражениями из заданной системы и получим уравнение , которое после приведения подобных членов в правой части запишется так: (С).

Рассмотрим систему уравнений, состоящую из первого уравнения заданной системы, т.е. уравнения, обе части которого мы дифференцировали, и уравнений (B) и (С)

(D)

Чтобы прийти к уравнению, содержащему только одну неизвестную функцию, из первых двух уравнений системы (D) определим функции и . Из этих уравнений следует:

Решая их относительно и , получим (E)

Подставляя эти значения и в третье уравнение системы (D), найдем

После упрощений в правой части получаем (F)

Уравнение (F) – линейное однородное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами. Перепишем его так (G) и найдем его общее решение по известным правилам.

Составляем характеристическое уравнение: .

Корнями этого уравнения являются

Частными решениями уравнения (G) будут функции: , а его общим решением .

Чтобы определить две остальные неизвестные функции и , воспользуемся выражением (Е). После подстановки в (Е) выражений и получим:

12.14. Системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

С линейными системами дифференциальных уравнений второго порядка приходится встречаться часто в теоретической механике, сопротивлении материалов и в других приложениях математики.

Система дифференциальных уравнений, разрешенных относительно наивысших производных искомых функций, называется канонической.

В случае трех неизвестных функций и независимой переменной эта система уравнений записывается так:

(62)

Общее решение этой системы содержит шесть произвольных постоянных, для определения которых задается шесть начальных условий (в механике это начальное положение и скорость точки в некоторый момент времени ).

Для определения решения канонической системы (62) применяется такой же прием, как и при решении рассмотренных выше нормальных систем: последовательным дифференцированием одного уравнения системы (или нескольких ее уравнений) следует исключить все искомые функции, кроме одной.

Сущность этого приема подробно разберем на примере.

Пример 20. Найти общее решение системы уравнений

Решение: Продифференцируем первое уравнение два раза по и получим

(63)

Подставим в (63) вместо его выражение из второго уравнения системы.

Тогда , или (64)

Из первого уравнения системы определим и подставим его в уравнение (64) (65)

C этим значением уравнение (64) перепишется так: , раскрывая скобки, получим . Характеристическое уравнение имеет корни

Функция (66)

Теперь из (65) найдем у, из (66) находим

Подставляя х и в (65), получаем

.