12.2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Если в дифференциальное уравнение первого порядка производная входит в первой степени, то после решения его относительно получаем уравнение вида .

Так как , то уравнение может быть переписано так . В частном случае, когда каждая из функций и является произведением двух функций, одна из которых – функция только х, а вторая только у, т.е. (3). Уравнение (3) называют уравнением с разделяющими переменными. Разделение переменных производится делением обеих частей (3) на произведение, в котором - функция только от у, являющаяся множителем при dx, а - функция только от х, являющаяся множителем при dy.

После деления на это произведение уравнение (3) примет вид (4), а его общий интеграл запишется так (5).

Особые решения с разделяющимися переменными.

Уравнение (5) может быть переписано так

Поэтому, кроме найденного ранее общего интеграла (5) уравнения (3) ему могут также удовлетворять решения, получаемые из уравнения .

Если эти решения не входят в общий интеграл, то они и будут особыми решениями уравнения (3).

Особое решение. Решение дифференциального уравнения, которое не может быть получено из общего решения ни при одном частном значении произвольной постоянной, включая ± называется его особым решением.

При решении дифференциального уравнения надо стремиться к тому, чтобы наряду с определением общего решения были найдены также и особые.

Замечание 2. С помощью подстановки к уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и дифференциальные уравнения вида (•),

=>

Уравнение (•) примет вид: , , или .

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение.

Разделим обе части на .

=> берем интегралы обеих частей => . В нашей задаче является особым решением (оно не может быть получено из общего интеграла ни при одном частном значении произвольной постоянной С).

12.3 Однородные и квазиоднородные уравнения

Уравнение вида называется однородным, если и однородные функции одного измерения (порядка).

Опр.3. Функция называется однородной измерения (порядка) m, если .

Решение такого уравнения проводятся путем введения новой переменной => , , с помощью которой уравнение превращается в уравнение с разделяющимися переменными.

Замечание 3. Дифференциальные уравнение вида (6) в случае приводится к однородному с помощью замены переменных , где m,n находятся из системы где (m,n) – точка пересечения прямых и . Поскольку здесь , то уравнение (6) преобразуется к виду относительно функции .

Смысл этих замен состоит в избавлении от постоянных слагаемых в числителе и знаменателе аргумента функции .

Если в уравнении (6) , и следовательно , то оно примет вид . Подстановкой это уравнение преобразуется к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 4.

Убеждаемся, что это уравнение однородное, производя подстановку , разделяем переменные: . Интегрируем , производим обратную замену ⇒ - общее решение (интеграл) данного ОДУ, особых решений нет.

Опр.4. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка называют квазиоднородным, если для всех 𝜆 > 0 справедливо равенство где .

Заменой квазиоднородное ОДУ можно преобразовать к ОДУ с разделяющимися переменными. Докажем справедливость этого утверждения. Получая в (7) , имеем , или . Учитывая это представление и проводя замену , запишем . Отсюда и следует ОДУ с разделяющимися переменными .

Некоторые ОДУ первого порядка можно привести к однородным заменой , где m – число, подлежащее определению.

Например, ОДУ после замены принимает следующий вид: . Оно будет однородным в случае равенства степеней всех его членов: при . Эти равенства справедливы, поэтому замена приводит к однородному ОДУ вида .

Решая конкретные уравнения при помощи замен вида , , следует обращать внимание на знаки переменных. Так, выражение при t < 0 и иррациональном m не определено.