12.21. Уравнения вида

Постановка задачи. Найти общее решение дифференциального уравнения

Алгоритм решения.

1. Полагая , получим дифференциальной уравнение первого порядка

2. Определяя тип этого уравнения и применяя соответствующий метод решения, находим где - произвольная постоянная.

3. Так как , имеем

Последовательно интегрируя раз (при каждом интегрировании не забывая о произвольной постоянной), получим ответ

– произвольный постоянные.

Пример 27. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение.

1. поскольку дифференциальное уравнение не содержит у, то полагая , имеем . Получаем дифференциальное уравнение первого порядка

2. Уравнение

линейное относительно и . Решая его, например, методом вариации произвольной постоянной, находим

3. Так как , имеем

Интегрируя, получим общее решение .

Ответ. .

Условия задач. Найти общие решения дифференциальных уравнений.

1. . Ответ:

2. Ответ:

12.22. Уравнения вида

Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

с начальными условиями

Алгоритм решения.

1. Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной х, полагаем

где - новая неизвестная функция. Тогда по формуле для произведения сложной функции имеем

Получим уравнение первого порядка относительно

2. Определяя тип этого уравнения и применяя соответствующий метод решения, находим , где С – произвольная постоянная.

3. Используя начальные условия (оба), находим .

4. Подставляя , получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Разделяя переменные в области, где , получаем

и, интегрируя, находим .

Проверяем, не является ли решение особым решением исходного уравнения, удовлетворяющим начальным условиям.

5. Используем начальные условия для нахождения второй постоянной (значение уже найдено в п.3) и получаем решение задачи Коши.

Ответ записываем в виде или .

Пример 28. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

с начальными условиями .

Решение.

1. Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной х, полагаем

где – новая неизвестная функция. Тогда по формуле для производной сложной функции имеем

Получим уравнение первого порядка относительно

2. Разделяя переменные и интегрируя, находим

т.е.

(знак минус мы выбрали из начального условия ).

3. Из начальных условий (обоих) имеем при . Отсюда, . Учитывая, что в силу первого начального условия и, следовательно, , получаем

4. Разделяя переменные и интегрируя, находим

5. Из начального условия получим . Следовательно,

(Знак минус мы выбрали из начального условия .)

Ответ.

Условия задач. Найти решения задач Коши для дифференциальных уравнений

1. Ответ:

2. Ответ:

12.23. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Постановка задачи. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

где - многочлен степени , - многочлен степени и - действительные числа.

Алгоритм решения.

Общее решение неоднородного линейного уравнения -го порядка имеет следующую структуру:

где – фундаментальная система решений и - общее решение соответствующего однородного уравнения, - какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.

1. Записываем соответствующее однородное уравнение

и ищем его решение в виде , где - неизвестное число.

Подставляя и в уравнение (91) и сокращая , получаем так называемое характеристическое уравнение

2. Решаем характеристическое уравнение. Обозначим корни характеристического уравнения и . Тогда фундаментальная система решений и общее решение уравнения (91) записываются в одном из следующих трех видов:

а) если и вещественны и , то фундаментальная система решений – это и общее решение имеет вид

б) если и вещественны и , то фундаментальная система решений – это и общее решение имеет вид

в) если и комплексные, т.е. , то фундаментальная система решений – это и общее решение имеет вид

3. Ищем какое-либо частное решение неоднородного уравнения. Поскольку правая часть уравнения имеет вид

можно применить метод подбора частных решений:

если не является корнем характеристического уравнения (92), то

где и - многочлены степени с неопределенными коэффициентами;

если есть корень характеристического уравнения (92) кратности , то

где и - многочлены степени с неопределенными коэффициентами.

4. Находим неопределенные коэффициенты, подставляя в исходное уравнение.

Записываем ответ по формуле (90).

Замечание 15. Аналогично решаются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами любого порядка.

Пример 29. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения

Решение.

1. Записываем соответствующее однородное уравнение

и ищем его решение в виде , где - неизвестное число.

Подставляя и в уравнение (95) и сокращая , получаем так называемое характеристическое уравнение

2. Характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня .

Имеем фундаментальную систему решений

и общее решение однородного уравнения (95)

3. Ищем какое-либо частное решение неоднородного уравнения (94). В нашем случае правая часть неоднородного уравнения имеет вид (93) с .

Так как характеристическое уравнение имеем комплексные корни кратности и , то частное решение ищем в виде

где - неизвестные числа (неопределенные коэффициенты).

4. Находим неопределенные коэффициенты, дифференцируя два раза и подставляя в уравнение (94).

Приравнивая коэффициенты в обеих частях равенства при , получим четыре уравнения

из которых определяем . Таким образом,

По формуле (90) находим общее решение неоднородного уравнения

Ответ.

Условия задач. Найти общие решения дифференциальных уравнений.

1. Ответ:

2. Ответ: