12.18. Линейные уравнения первого порядка
Постановка задачи. Решить задачу Коши для уравнения
с начальным условием
(70’).
Алгоритм решения.
1-й способ.
1. Запишем соответствующее однородное линейное уравнение:
Это уравнение в разделяющимися переменными.
2. Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение однородного уравнения (71)
3. Применяем метод вариации произвольной постоянной:
а) ищем решение
неоднородного уравнения (70) в виде (72),
считая С неизвестной функцией х,
т.е. полагая 
.
б) подставляем в
уравнение (70) 
и 
,
определяемые из соотношения (72), где
.
Из полученного дифференциального
уравнения определяем функцию 
.
4. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (70) получаем в виде
Здесь 
содержит произвольную постоянную 
.
5. используя
начальные условия (70’), находим значение
и получаем решение поставленной задачи
Коши.
Записываем ответ
в виде 
.
2-й способ.
1. Ищем решение уравнения (70) в виде
где 
и 
- неизвестные функции х.
2. Уравнение (70) принимает вид
3. Поскольку теперь мы имеем две неизвестные функции, а уравнение, которому они должны удовлетворять, только одно, то еще одно уравнение мы можем принять произвольно, лишь бы оно не сужало множество решений у.
Пусть одна из
функций (например, 
) удовлетворяет уравнению
Тогда уравнение (74) примет вид
Решая уравнение
(75) (с разделяющимися переменными),
находим 
,
не равное тождественно нулю, чтобы не
сужать множество решений у.
4. Подставляем 
в уравнение (76) и решаем его относительно
.
5. Записываем общее решение уравнения в виде.
6. используя начальные условия (70’), получаем решение поставленной задачи Коши.
Записываем ответ
в виде 
.
Пример 24. Найти решение задачи Коши для уравнения
с начальным условием
.
Решение.
1-й способ.
1. Записываем соответствующее однородное уравнение
Это уравнение с разделяющимися переменными.
2. разделяя переменные и интегрируя, получаем общее решение однородного уравнения
3. Применяем метод вариации произвольной постоянной:
а) ищем решение неоднородного уравнения (77) в виде
где 
- неизвестная функция х;
б) подставляя в уравнение (77)
получаем
дифференциальное уравнение относительно
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Разделяя переменные
и интегрируя, получаем
где 
- произвольная постоянная.
4. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (77) имеет вид
5. Используя
начальное условие 
,
получаем
находим 
и подставляем в общее решение (78).
Ответ. 
.
2-й способ.
1. ищем решение уравнения (77) в виде
где 
и 
- неизвестные функции х.
2. Уравнение (77) принимает вид
3. Поскольку теперь мы имеем две неизвестные функции, а уравнение, которому они должны удовлетворять, только одно, то еще одно уравнение мы можем принять произвольно, лишь бы оно не сужало множество решений у.
Пусть одна из
функций (например, 
) удовлетворяет уравнению
Тогда уравнение (79) принимает вид
Решая уравнение (80) (с разделяющимися переменными), находим
где А
– произвольная постоянная (
,
чтобы не сужать множество решений).
4. Подставляем 
в уравнение (81) и решаем его относительно
:
где В – произвольная постоянная.
5. Записываем общее решение уравнения (77) в виде
где 
- произвольная постоянная.
6. Используя
начальное условие 
,
находим 
.
Ответ. 
.
Условия задач. Найти решения задач Коши для дифференциальных уравнений.
1. 
.
Ответ: 
.
2. 
Ответ: 