IV. Расчет погрешностей косвенных измерений.

Пусть определяемая величина N является функцией нескольких переменных x, y, z величин, измеряемых непосредственно (прямые измерения), то есть N=f(x, y, z). Заметим, что в частном случае косвенно измеренная величина может выражаться только через одну прямую измеренную величину (например, объем шара V=(38), где d – диаметр шара).

1. Находят среднее арифметическое значение прямых измерений каждой величины x, y, z.

; ; (39).

2. Вычисляют среднее арифметическое значение искомой величины: (40).

3. Вычисляют абсолютные погрешности отдельных измерений всех величин x_i, y_i, z_i и их квадраты (x_i)², (y_i)², (z_i)².

4. Определяют дисперсию каждой измеренной величины:

; ; (41).

5. Рассчитывают средние квадратичные погрешности всех величин x, y, z: ; ; (42).

6. Вычисляют среднюю квадратичную погрешность искомой величины по формуле:

(43),

где частные производные рассчитывают при , , . При получении выражения для любой частной производной остальные аргументы функции считают постоянными.

7. Находят полуширину доверительного интервала искомой величины , определив из таблицы значение коэффициента Стьюдента для заданной вероятности и данного числа измерений (для всех измеряемых величин необходимо задавать одно и то же значение доверительной вероятности): (44).

8. Окончательный результат записывают в виде:

(45).

Данная запись означает, что с доверительной вероятностью значение искомой величины N попадает в интервал ().

9. Определяют относительную погрешность косвенного измерения величины N: (46).

Пример. Пусть при определении объёма V цилиндра в результате пяти измерений с помощью штангенциркуля высоты h цилиндра и диаметра d основания были получены результаты, которые занесены в таблицу:

№ п/п	1	2	3	4	5
h, мм	12,2	12,8	12,4	12,2	12,6
d, мм	5,0	4,7	5,2	4,9	4,8

Выполнить математическую обработку результатов измерений.

Доверительную вероятность считать равной =0,95.

Проведем выполнение математической обработки.

1. Найдем средние арифметические значения высоты и диаметра

(формула 39): ; .

2. Найдем среднее арифметическое значение объёма цилиндра:

;

3. Вычислим абсолютные погрешности результатов измерения высоты цилиндра и его диаметра:

Δh₁= 0,2мм; Δd₁= -0,1мм;

Δh₂= -0,4мм; Δd₂= 0,2мм;

Δh₃= 0; Δd₃= -0,3мм;

Δh₄= 0,2мм; Δd₄= 0;

Δh₅= -0,2мм; Δd₅= 0,1мм.

4. Вычисляем дисперсию высоты D_h и диаметра D_d (формула 41):

;

;

5. Вычисляем средние квадратичные погрешности высоты и диаметра : = ;

= .

6. Рассчитываем среднюю квадратичную погрешность объёма цилиндра V (формула 43):

; ; ;

;

7. По таблице для α=0,95 и n=5находим значение коэффициента Стьюдента: .

8. Вычисляем полуширину доверительного интервала ΔV:

ΔV= ; ΔV=2,8·5,5мм³ =15,4 мм³.

9. Записываем окончательный результат в виде:

V=V; V=(233,715,4) мм³.

10. Относительная погрешность: .

Второй способ расчета погрешностей вычисления объема цилиндра.

1.Вычисляем объём цилиндра для каждого из пяти измерений:

; ;

; ;

;

; ;

; .

2. Находим среднее арифметическое значение объёма: