1.2 Расчет линий равного потенциала

Уравнением линии равного потенциала является уравнение окружности с радиусом:

.

И координатами центра окружности

; ;

.

- расстояние от электрической оси, расположенной справа от оси OY до произвольной точки на линии равного потенциала;

- то же для оси слева от OY .

Таким образом, если найдено К, то для каждой линии равного потенциала могут быть вычислены и радиус ,

- порядковый номер линии.

Расчёт производится следующим образом, пусть U_o заданная разность потенциала между электрическими осями, тогда:

где ;

При условии, что ΔU = const, имеем В = const, т.е. число К при возрастании порядкового номера линий изменяются в геометрической прогрессии:

В нашем случае:

;

Если счет линий выполнять слева направо, из рис.1 следует:

м;

м;

;

м;

м;

;

Определим В, имея ввиду, что по условию n-1=10

.

Дальнейший расчет, связанный с определением радиусов и координат центра эквивалентных окружностей, сводим в таблицу.

Таблица 1.1 Расчет линий равного потенциала

		(м)	(м)
1	17,67	0,113	-0,085
2	9,95	0,017	-0,086
3	5,62	0,031	-0,089
4	3,15	0,059	-0,102
5	1,77	0,139	-0,163
6	0,99	8,34	8,3
7	0,56	0,138	0,157
8	0,32	0,060	0,102
9	0,18	0,031	0,089
10	0,10	0,0169	0,085
11	0,057	0,0096	0,084

Радиусы первой и последней линии равны радиусам цилиндров.

3. Построение линий равного потенциала

По данным таблицы 1 и с учетом результатов расчета по пункту 1.1 производится построение линий равного потенциала. Построение производится на миллиметровой бумаге формата А3 (297*420 мм) для первой схемы в масштабе 1:1, для второй в масштабе 1:2. На чертеже должны быть нанесены все основные величины, полученные при расчете.

1.4 Расчет линий напряжённости е поля

Уравнение любой линии Е поля является уравнением дуги окружности, пересекающейся с электрическими осями с координатами центра:

; ,

где β – угол между линиями соединяющими точку пересечения κ-той линии напряженности Е с плоскостью нулевого потенциала с электрическими центрами цилиндров.

Линии Е поля должны быть построены так, чтобы весь поток Е был поделён ими на равное целое число трубок. Для этого, при переходе от любой линии Е к соседней необходимо изменить угол β на постоянную величину .

Вычисление :

За начальную линию Е принимают линию, соединяющую электрические оси. Угол для неё равен: .

Вторую линию строят (от руки) таким образом, чтобы в результате пересечения обеих линий с эквипотенциальной линией получался квадрат.

Соединяя любую точку отрезка второй линии, являющегося верхней стороной квадрата, с электрическими осями находят угол β₂ и вычисляют :

Поскольку диапазон изменения , то число линий Е поля:

Полученный результат округляется до ближайшего целого чётного .

После этого уточняется :

;;.

Округляем до ближайшего чётного числа; ;

Расчет координат сведен в таблицу 1.2.

Таблица 1.2 Расчет линий напряженности поля

κ		, (м)	, (м)
1	0	∞	∞
2	36	0,115	0,142
3	72	0,027	0,088
4	108	-0,027	0,088
5	144	-0,115	0,142
6	180	∞	∞

Начиная с 180⁰ значения будут повторяться по величине и знаку.

1.5 Построение линий напряжённости

Построение выполняется в соответствии с таблицей 1.2 и пунктом 1.3. Линии Е проводятся в виде дуг окружностей, пересекающихся с электрическими осями. В результате получаем полную картину поля в форме ортогональной сетки.

2 Определение точки с максимальной Е

2.1 Аналитический расчет:

в той точке, где , исследуя картину поля можно показать, что точка с максимальной Е принадлежит линии соединяющей оси и имеет координаты ; т.е. находится на поверхности левого (меньшего) цилиндра:

В/м.

2.2 Расчет Е_max по картине поля:

При известной величине приращения потенциала, максимальное значение Е поля:

,

будет в точке .

Этому значению соответствует отрезок линии, соединяющий электрические оси, ограниченный с одной стороны следом поверхности меньшего цилиндра, с другой – соседней линией равного потенциала:

В/м.

3 Расчет и построение кривой распределения заряда по периметру.

3.1 Аналитический расчет

Граничное условие для поля в диэлектрике на поверхности проводника может быть записано:

здесь .

- плотность электрического заряда на поверхности проводника;

- угол, отсчитываемый по периметру цилиндра от оси ОХ в направлении против часовой стрелки.

Величина приращения выбирается из условия:

- целое число.

В данном случае (таблица 3.1)

3.2 Расчет по картине поля

ΔU=U₀/10

 – определяется длиной средней нормали, проведённой между линиями Е поля к поверхности цилиндра. Данные расчёта сводятся в таблицу 3.1.

По данным пунктов 3.1, 3.2. строятся кривые (рис. 3.) распределения заряда по периметру цилиндра. После построения кривых необходимо провести их анализ и сделать вывод.

Таблица 3.1

, град	, Кл/м2	, м	, Кл/м2
0	0,0074	0,005	0,0071
20	0,0073	0,0051	0,0069
40	0,0070	0,0054	0,0066
60	0,0066	0,0059	0,0060
80	0,0062	0,0061	0,0058
100	0,0058	0,0063	0,0056
120	0,0054	0,0070	0,0051
140	0,0051	0,0075	0,0047
160	0,0050	0,0079	0,0045
180	0,0049	0,0081	0,0044
200	0,0050	0,0079	0,0045
220	0,0051	0,0075	0,0047
240	0,0054	0,0070	0,0051
260	0,0058	0,0063	0,0056
280	0,0062	0,0061	0,0058
300	0,0066	0,0059	0,0060
320	0,0070	0,0054	0,0066
340	0,0073	0,0051	0,0069
360	0,0074	0,0050	0,0071

Рис.3 - Кривые распределения заряда по периметру цилиндра