Предел функции

Понятие предела функции является одним из самых важных в математике. Дадим два определения этому понятию.

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности такой, что сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу A.

18. Бесконечные малые и бесконечно большие величины.

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.

[Править] Бесконечно малая величина

Последовательность a_n называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел  — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x₀, если .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то f(x) − a = α(x), .

Бесконечно большая величина

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция xsin x, неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .

Последовательность a_n называется бесконечно большой, если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x₀, если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .

Свойства бесконечно малых

• Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

• Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

• Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

• Если a_n — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.

19. Производная функции: определение, геометрический и физический смысл.

1. Определение производной функции. Необходимое условие существования производной

Пусть функция    определена в точке    и некоторой ее окрестности. Придадим аргументуприращение такое, что точка попадает в область определения функции.  Функция при этом получит приращение . 

     ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Производной функции    в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента ,  при (если этот предел существует и конечен), т.е.

.

Обозначают: .

Производной функции в точке справа (слева) называется

(если этот предел существует и конечен).

Обозначают:   – производная y=f(x)  в точкесправа,

  – производная y=f(x) в точкеслева.

 

Очевидно, что справедлива следующая теорема.

     Теорема 1: Функция y=f(x) имеет производную в точкетогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равны между собой производные функции справа и слева. Причем

.

 

Следующая теорема устанавливает связь между существованием производной функции в точке и непрерывностью функции в этой точке.

ТЕОРЕМА (необходимое условие существования производной функции в точке).  Если функция  y = f(x) имеет производную в точке, то функция f(x)  в этой точке непрерывна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть существует  .  Тогда

,

где – бесконечно малая при .

⇒  ;

⇒ 

.

Но это означает, что функция f(x) непрерывна в точке  (по геометрическому определению непрерывности). ∎

 

Замечание. Непрерывность функции в точке    не является достаточным условием существования производной этой функции в точке  .  Например, функция y = |x|   непрерывна, но не имеет производной в точке.

Очевидно, что соответствиеявляется функцией, определенной на некотором множестве. Ее называют производной функции  y = f(x) и обозначают

.

Операцию нахождения для функции f(x) ее производной функции называют дифференцированием функции y = f(x).