5.2. Полное страхование жизни

Рассмотрим, например, полное страхование жизни с выплатой страхового пособия в конце последнего года жизни и пожизненной выплатой премий в начале каждого года жизни, начиная с момента заключения договора.

В этом случае, как известно,

, и .

Следовательно,

. (17)

То есть

, (18)

, (19)

где дисперсия вычисляется как:

.

Если страховая надбавка назначается пропорционально нетто-премии (математическому ожиданию): , то можно и вычислить как:

, (18ґ)

. (19ґ)

Перейдем теперь к вычислению относительной надбавки , введя для удобства обозначение:

(20)

Тогда

. (21)

Если портфель компании состоит из одинаковых договоров страхования, вид которых описан выше, а - возраст i - го застрахованного на момент заключения договора, то (16) примет вид :

, (22)

где

, ,

, .

Решив иррациональное уравнение (22):

,

относительно , можем получить его в явном виде:

. (23)

Преобразуем последнее равенство к виду:

.

Тогда, так как при больших все величины , , , имеют порядок , можно приближенно считать, что

. (23ґ)

№ 44. Страховая компания заключила 5000 договоров полного дискретного страхования жизни с пожизненной выплатой страховых премий в начале каждого года жизни. Найдите полную нетто-премию, если возраст всех застрахованных равен 30 годам, вероятность неразорения равна 95%, годовая процентная ставка – 20%.

Решение. Для расчета защитной надбавки применим формулу (23ґ), в которой

Вычислим по формуле

Следовательно,

и учитывая, что , можем получить:

Таким образом, полная нетто-премия будет равна:

Ответ: 0,059584.

Относительная малость величины связана, очевидно, с достаточно большим числом застрахованных. Действительно, если взять , то можно получить уже что значительно больше, чем в № 44.

3. n – летнее смешанное страхование

При этом виде страхования премии вносятся в начале каждого года в течение (не более) n лет, а страховое возмещение выплачивается в конце последнего года жизни, или по истечении срока страхования.

В случае аппроксимации нормальным приближением, искомую полную периодическую премию можем, как и в § 5.2, найти из равенства (16). Для этого вычислим параметры, входящие в данное уравнение.

Учитывая, что современные стоимости обязательств компании и застрахованного по одному договору страхования равны:

и ,

получаем:

(24)

Тогда

и

где

Для вычисления последних характеристик можем применить формулы:

,

,

где множитель

получается при замене силы роста на ;

.

.

Если портфель компании состоит из таких договоров страхования, то можно вычислить и следующие характеристики портфеля ( - убыток, связанный с i – м договором страхования):

и

подставив которые в уравнение (16), найдем как полную нетто-премию, так и относительную страховую надбавку.

Предположим, что портфель компании состоит из одинаковых договоров страхования (). Тогда:

Следовательно, уравнение (16) примет вид:

(25)

откуда в явном виде можно выразить искомую премию :

. (26)

№ 45. Решите № 44 при условии пятилетнего смешанного страхования.

Решение. Применим формулу (26), в которой:

Вычислим дисперсию , для чего найдем сначала

где

Тогда

и

.

Следовательно,

Для вычисления относительной защитной надбавки

найдем предварительно (№ 43)

Тогда , или 0,19%.

Столь малая величина относительной страховой надбавки связана не только с большим числом договоров, но и с тем, что при смешанном страховании выплата производится по окончании срока действия договора, поэтому вариации, связанные со смертностью, крайне малы.

Ответ: 0,113141; 0,19%.