2.2. Полное непрерывное страхование жизни

Пусть теперь единичное страховое возмещение выплачивается в момент смерти застрахованного. Актуарная стоимость этой суммы в момент заключения договора страхования равна:

.

Обязательства застрахованного заключаются в ежегодной выплате суммы , актуарная стоимость, которой на момент заключения договора страхования будет равна:

.

Тогда, из условия (1) финансовой эквивалентности обязательств застрахованного и страховой компании, получаем:

,

или

. (4)

Учитывая, что

,

можем последнюю формулу представить как:

; (4ґ)

а если принять предположение о равномерном распределении жизни для дробных возрастов, то

,

,

. (4ґґ)

Сравнивая последнюю формулу с формулой (2ґ) можем найти зависимость между периодическими нетто-премиями при непрерывном и дискретном страховании жизни:

.

№ 39. Решите № 38 при условии, что страховая компания выплачивает страховое возмещение в момент смерти застрахованного.

Решение: Учитывая результаты, полученные в №№ 22 и 32, можем получить:

или в рублях:

руб.

Таким образом, ежегодный платеж при полном непрерывном страховании жизни составит 1075,45 руб., что, естественно, немного больше, чем при соответствующем дискретном страховании.

Ответ: 1075,45 руб.

Если период уплаты нетто-премий ограничен, например. n годами, то обязательства застрахованного будут выглядеть как

,

и ежегодная нетто-премия будет равна:

. (5)

2.3. Полное непрерывное страхование жизни с выплатой премий т раз в год

В этом случае годовая нетто-премия выплачивается m раз в год по единиц. Тогда актуарная стоимость обязательств застрахованного на момент заключения договора будет равна:

.

Обязательства страховой компании остались такими же, как в § 2.2. Поэтому

,

то есть

. (6)

Учитывая формулу (4), можно выразить эту нетто-премию через ежегодную нетто-премию :

. (7)

№ 40. Решите № 39 при условии, что застрахованный вносит платежи ежемесячно.

Решение. Используя результаты № 36, можем получить:

Следовательно, ежемесячный взнос составит величину

руб.

Ответ: 97,81 руб.

§ 3. Временное страхование жизни

Рассмотрим некоторые виды временного страхования жизни сроком на n лет, при которых застрахованный вносит премии периодически, причем срок такой ренты (m лет) не может быть больше, чем срок страхования .

3.1. n – летнее чисто накопительное страхование

В течение периода уплаты страховой премии застрахованный обязан полностью внести подлежащие уплате взносы, то есть полностью выполнить свои обязательства. В этом случае актуарная стоимость обязательств застрахованного будет равна

где - сумма, вносимая застрахованным в начале каждого года.

Стоимость обязательств страховой компании равна (согласно гл. 3):

.

Следовательно, из условия (1) получаем

или

(8)

Период от даты уплаты последнего взноса до даты страховой выплаты называется выжидательным, и он равен лет. Если выжидательный период отсутствует, то и формула (8) примет вид:

(8ґ)

№ 41. Найдите периодическую нетто-премию при 5 – летнем чисто накопительном страховании жизни человека в возрасте 30 лет, если застрахованный вносит подлежащие уплате взносы в течение трех лет. Годовая процентная ставка равна 20%, а величина страховой выплаты равна 100000 руб.

Решение. Применим формулу:

где

Вычислим предварительно

Следовательно,

или в рублях:

руб.

Ответ: 15753,36 руб.

3.2. n - летнее смешанное страхование жизни

Обязательства застрахованного в этом случае остаются такими же, как и в § 3.1, обязательства же страховой компании примут вид:

Следовательно, из условия (1) получаем:

(9)

Если выжидательный период отсутствует, то

(9ґ)

№ 42. Решите № 41 при пятилетнем смешанном страховании жизни.

Решение. Применим формулу

где

Тогда

или в рублях:

руб.

Ответ: 16006,63 руб.

При этом виде страхования, страховое возмещение выплачивается застрахованному при дожитии до определенного возраста лет, либо выгодоприобретателю, если застрахованный умер раньше. Согласно формулы (20) гл. 3:

где - единовременная премия при n – летнем временном страховании жизни.

Поэтому иногда встречаются смешанные страхования жизни с неравными страховыми суммами – страховая сумма по смерти выбирается (обычно) большей, чем по дожитию (до возраста лет). В этом случае при расчете тарифов за основу принимается страховая сумма по дожитию, а актуарная стоимость обязательств страховой компании в (9) примет вид:

(10)

где - отношение страховых сумм по смерти и по дожитию.