1.4. Последовательная rlc-цепочка

Вернемся к исходной цепи, изображенной на рис. 10.1. Так как все элементы цепи соединены последовательно, то мгновенное напряжение на всей цепи равно в каждый момент времени сумме мгновенных напряжений на каждом из них:

U = U_R + U_L + U_C . (10.24)

В методе векторных диаграмм каждое слагаемое в (10.24)

Рис. 10.6. Векторная диаграмма для RLC-цепи

в любой момент времени представляется в виде проекции соответствующего вектора на неподвижную ось ОХ. Но поскольку сумма проекций векторов равна проекции их суммы, в (10.24) вместо проекций можно складывать сами вектора, а проекцию найти в конце вычислений и, таким образом, от сложения тригонометрических функций перейти к более наглядному сложению векторов. В использовании этого приема и состоит метод векторных диаграмм (рис. 10.6).

Построив векторную диаграмму для RLC-цепи, находим амплитуду U и начальную фазу  напряжения:

, (10.25)

. (10.26)

Зная U₀ и , можно записать выражение для мгновенного значения напряжения:

U = U₀ cos ( t + ) . (10.27)

Согласно (10.25), (10.26), амплитуда напряжения U₀ прямо пропорциональна амплитуде тока I₀, а сдвиг фаз  от тока не зависит (закон Ома для переменного тока). Коэффициент пропорциональности

Z = U₀ / I₀ (10.28)

называется полным сопротивлением цепи.

Для последовательной RLC-цепочки из (10.25) получаем:

. (10.29)

Как видно из (10.29), для цепей переменного тока зависимость полного сопротивления Z от сопротивлений отдельных элементов более сложная, чем для цепей постоянного тока.

В методе импедансов используется аналогичный прием: в комплексном представлении каждое слагаемое в (10.24) записывается в виде действительной части соответствующей комплексной функции, поэтому сначала можно сложить функции , а затем найти действительную часть:

(10.30)

Таким образом, комплексное представление позволяет записать закон Ома не только для амплитудных, но и для мгновенных комплексных значений тока и напряжения:

, (10.31)

где величина

(10.32)

называется комплексным сопротивлением (импедансом) цепи. В (10.32) импеданс записан в алгебраической форме , где представляет активное сопротивление цепи, а мнимая часть - реактивное сопротивление.

В показательной форме импеданс цепи записывается:

, (10.33)

где модуль

(10.34)

совпадает с полным сопротивлением цепи (10.29), а аргумент  - с разностью фаз между током и напряжением (10.26):

. (10.35)

Как видно из (10.32), импеданс для цепей переменного тока в отличие от полного сопротивления Z находится по тем же правилам, что и сопротивление цепей постоянного тока. Этот факт представляет собой одно из основных достоинств метода импедансов.

2. Важные частные случаи

При выполнении лабораторных работ №№ 10 и 11 будут важны следующие частные случаи:

1. Катушка индуктивности, имеющая активное сопротивление R_L . В этом случае:

. (10.36)

Из этого соотношения можно определить реактивное сопротивление и индуктивность:

. (10.37)

2. Безиндуктивная цепь:

(10.38)

Из этого соотношения можно выразить реактивное сопротивление и емкость:

(10.39)

Если сопротивлением подводящих проводов и потерями в диэлектрике конденсатора пренебречь, то

(10.40)

В обоих случаях полное сопротивление Z можно определить исходя из показаний амперметра I_ЭФФ. и вольтметра U_ЭФФ.:

. (10.41)