2. Температурная зависимость сопротивления металлов

Выведем ряд соотношений, которые помогут нам определить зависимость удельного сопротивления металлов от условий эксперимента. Рассмотрим проводник однородного сечения S с концентрацией электронов n. Под действием электрического поля с напряженностью E электроны движутся со скоростью V_D. Если взять произвольную плоскость, перпендикулярную проводнику, то за промежуток времени Δt через эту плоскость пройдет заряд Δq:

(9.5)

Сила тока в проводнике I:

а плотность тока

(9.6)

От столкновения до столкновения электрон проходит длину свободного пробега λ за время τ (). Он движется с ускорением . К моменту следующего соударения максимальная скорость электрона составляет а средняя дрейфовая скорость может быть определена как:

(9.7)

Плотность тока, проходящего по проводнику, равна:

(9.8)

Согласно закону Ома в дифференциальной форме:

(9.9)

откуда получаем искомое выражение для удельного сопротивления металла:

(9.10)

Согласно выражению (9.10) величина удельного сопротивления в общем случае определяется концентрацией электронов, длиной свободного пробега и скоростью теплового движения. При увеличении температуры концентрация электронов не изменяется, но увеличивается скорость теплового движения и уменьшается величина свободного пробега. Последнее связано с тем, что при повышении температуры колебания ионов кристаллической решетки происходят с большей амплитудой. Анализ ф. (9.3) показывает, что при температурах вблизи комнатной в небольшом интервале изменением тепловой скорости можно пренебречь. Основной вклад в изменение удельного сопротивления металлов будет вносить изменение длины свободного пробега, которая, как показывают точные расчеты, обратно пропорциональна температуре (). Таким образом, сопротивление металлов теоретически должно возрастать с увеличением температуры по закону, близкому к линейному.

Экспериментально установлено, что сопротивление металлического проводника в интервале температур вблизи комнатной прямо пропорционально температуре и аппроксимируется известной формулой:

(9.11)

где R₀ – сопротивление металлического проводника при 0 С;

t – температура, С;

 – температурный коэффициент сопротивления металла, который характеризует относительное приращение сопротивления при увеличении температуры на один градус.

Важно отметить, что работоспособность ф. (9.11) ограничивается для большинства металлов температурным интервалом вблизи комнатной температуры. Это обусловлено тем, что при других температурах изменяются режимы колебаний кристаллической решетки и принципиально другими становятся процессы рассеяния.

Изучение зависимости сопротивления металлов от температуры имеет практическое значение для экспериментальной физики и техники. На основе этой зависимости базируются методы измерения температуры с применением термометров сопротивления. В качестве примера можно привести платиновые термометры сопротивления, которые работают в интервале от -263 до + 1000°С и имеют погрешность в сотые доли градуса.