1.3. Вольтамперная характеристика вакуумного диода

Кривая, изображающая зависимость силы анодного тока от анодного напряжения в вакуумном диоде, показана на рис. 8.1. При нулевом потенциале анода ток очень мал. При увеличении положительного потенциала на аноде ток возрастает до некоторого значения, называемого током насыщения. При повышении температуры катода (при увеличении тока, протекающего через катод) величина тока насыщения увеличивается (рис.8.1). При этом увеличивается и то анодное напряжение, при котором устанавливается ток насыщения. При токе насыщения в диоде все выходящие из катода электроны переносятся электрическим полем на анод лампы. При подаче отрицательного потенциала на анод величина анодного тока быстро падает до нуля.

Рис.8.1. Вольт-амперная характеристика диода при

различных температурах катода

1.4. Закон Богуславского-Ленгмюра

Закон Богуславского-Ленгмюра, или закон «степени трех вторых», устанавливает взаимосвязь между анодным током и анодным напряжением в вакуумном диоде. Эта зависимость для электродов простейших конструкций была исследована в 1911 г. американским ученым К. Чайлдом (K.Child), в 1913 г. – американским физиком И. Ленгмюром (I.Langmuir), а впоследствии перенесена на более сложные случаи С. А. Богуславским (1923 г., Россия), И. Ленгмюром (1923 г.), К.Блоджет (K.Blodgett, 1924 г., США). В зарубежной литературе закон носит имя Чайлда-Ленгмюра.

Рис.8.2. К выводу закона «степени трех вторых»

Определим зависимость анодного тока от анодного напряжения в диоде, образованном двумя плоскими, безграничными, параллельными друг другу пластинами (рис. 8.2). В этом случае можно пренебречь краевым эффектом и считать поле между анодом и катодом однородным. Примем следующие допущения. Пусть у поверхности катода (x=0) U_k=0,, начальная скорость электронов V₀=0. Скорость электрона в любой точке междуэлектроднного пространства с потенциалом U, если V₀=0, определяется выражением:

. (8.1)

Учитывая, что в междуэлектродном пространстве существует объемный заряд, воспользуемся уравнением Пуассона, которое для вакуума и при условии, что E_Y=E_Z =0, можно записать в виде:

. (8.2)

Здесь ρ - объемная плотность заряда (Кл/м³), а ε₀=8,85∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.

Как известно, объемная плотность заряда связана с плотностью тока соотношением:

, (8.3)

или с учетом (8.1):

. (8.4)

Подставив выражение для ρ в (8.2), запишем уравнение Пуассона в виде:

. (8.5)

Умножая обе части равенств на и интегрируя от 0 до x, получаем:

. (8.6)

Постоянные интегрирования равны нулю, так как при x=0 U_K=0 и dU/dx=0.

Интегрирование (8.6) после извлечения корня из обеих частей равенства и разделения переменных приводит к следующему результату:

. (8.7)

Отсюда легко определить плотность тока, одинаковую для любого сечения междуэлектродного пространства:

. (8.8)

Подставив x=d и U=U_a, запишем для плотности тока у поверхности анода:

. (8.9)

Чтобы найти значение анодного тока, умножим (8.9) на величину Q_a той части поверхности анода, куда попадают электроны:

, (8.10)

или

. (8.11)

Выражение (8.11), отображающее аналитически функцию I_a=f(U_a), носит название закона «степени трех вторых».