§1. Классификация интегральных уравнений

Интегральными уравнениями называют уравнения, в которых неизвестная функция независимого аргумента (скалярного или векторного) входит под знак интеграла. Во-первых, различают линейные и нелинейные интегральные уравнения.

Выпишем общий вид нелинейного интегрального уравнения типа Вольтерра

. (1.1)

Более частными видами нелинейных интегральных уравнений будут уравнения вида

(1.2)

и

. (1.3)

Приведенные виды интегральных уравнений содержат интегральные операторы с переменным верхним пределом равным x. Один из пределов интегрирования может быть и функцией от x. Такие уравнения будем называть уравнениями Вольтерра.

Если верхний предел интегрирования x заменить на постоянное значение b, то уравнение такого вида будем называть уравнениями Фредгольма. В этом случае уравнение (1.2) называется уравнением Урысона, а уравнение (1.3) – уравнением Гаммерштейна.

Линейные интегральные уравнения Вольтера имеют вид

. (1.4)

Если в уравнении (1.4) , то получим уравнение

, (1.5)

которое называется интегральным уравнением Вольтерра первого рода.

Если , то уравнение (1.4) называется уравнением Вольтерра второго рода.

Если в уравнении (1.4) для всех рассматриваемых значений x, то, поделив уравнение (1.4) на поучим уравнение Вольтерра второго рода следующего вида

, (1.6)

где , .

В уравнении (1.6) -неизвестная функция -ядро интегрального уравнения, -известная функция, называемая свободным членом или правой частью интегрального уравнения.

Функции и обычно считают непрерывными, либо квадратично интегрируемыми на Ядро интегрального уравнения полагают непрерывным в квадрате либо регулярным, удовлетворяющим условию

(1.7)

где B-постоянная, т.е. квадратично интегрируемым в этом квадрате. В формуле (1.7) предполагается, что K(x,t) при t > x. В этих клас­сах функций решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода существует и единственно.

При уравнение (1.6) называют однородным, а при -неоднородным.

Ядро интегрального уравнения называется вырожденным, если оно представимо в виде

Ядро интегрального уравненияназывается разностным, если оно зависит от разности аргументов:

Замечание 1. Однородное интегральное уравнение Вольтерра второго рода имеет только тривиальное решение.

Замечание 2. Случай, когда или даже при , вообще говоря, не исключа­ется, но при этом следует внимательно проверять выполнение условия квадратичной интегрируемости ядра в квадрате

В уравнениях (1.4) - (1.6) – числовой параметр, функции и называются ядрами интегральных уравнений и, соответственно, и – свободными функциями линейных неоднородных интегральных уравнений.

Если и то уравнения называются однородными, в противном случае неоднородными.

Рассмотренные понятия распространяются и на уравнения Фредгольма.

При построении моделей многих задач с последействием, в частности краевых задач, разрешающие уравнения могут содержать неизвестную функцию и под знаком интеграла с постоянными пределами интегрирования и под знаком интеграла с переменными пределами интегрирования одновременно. Такие интегральные уравнения называют интегральными уравнениями смешанного типа Вольтерра-Фредгольма. Ниже приведён пример линейного интегрального уравнения смешанного типа Вольтерра-Фредгольма второго рода

Приведем общий вид нелинейного интегро-дифференциального уравнения Вольтерра с обыкновенным аргументом

и линейного

,

где

Далее выпишем общий вид линейного неоднородного интегро-дифференциального уравнения Вольтерра с функциональными отклонениями

.

Последнее уравнение с функциональным запаздыванием, если

, , функции и – обычно считаются непрерывными, ядра – регулярными в квадрате .