- •1 Векторы
- •Свойства
- •Линейные операции над векторами ]Сложение векторов ]Сложение геометрических векторов
- •]Сложение коллинеарных скользящих векторов
- •Сложение векторов - элементов линейного пространства
- •Умножение вектора на число
- •Скалярное произведение
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение
- •2 Прямая Уравнения прямой на плоскости
- •Общее уравнение прямой
- •Уравнение прямой в полярных координатах
- •Тангенциальное уравнение прямой
- •Уравнения прямой в пространстве
- •Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости
- •Некоторые характеристические свойства плоскости
- •Уравнения плоскости
- •Связанные понятия
- •Классификация кривых второго порядка Невырожденные кривые
- •Вырожденные кривые
- •Канонический вид
- •Определение через разложение по первой строке
- •Свойства определителей
- •Операции над матрицами
- •Метод Гаусса—Жордана
- •Методы решения (нажать с ctrl)
- •Непрерывная функция
Операции над матрицами
Умножение матрицы на число
Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен
Сложение матриц
Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен
Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю
Метод Гаусса—Жордана
Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A−1.
При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц Λi (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):
.
.
Вторая матрица после применения всех операций станет равна Λ, то есть будет искомой
7 Применение определителей и матриц
Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида
(1) |
Здесь x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно[1].
Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе — неоднородной.
Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.
Решение системы (1) — совокупность n чисел c1, c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.
Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.
Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.
Методы решения (нажать с ctrl)
-
Метод Гаусса
-
Метод Гаусса — Жордана
-
Метод Крамера
-
Матричный метод
.
10 Элементарные функции
Графики
Прямая линия - график линейной функции y = ax + b. Функция y монотонно возрастает при a > 0 и убывает при a < 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность) |
|
Парабола - график функции квадратного трёхчлена у = ах2 + bх + с. Имеет вертикальную ось симметрии. Если а > 0, имеет минимум, если а < 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax2 + bx +с =0 |
|
Гипербола - график функции . При а > О расположена в I и III четвертях, при а < 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а > 0) или у - - х(а < 0). |
|
Экспонента (показательная функция по основанию е) у = еx. (Другое написание у = ехр(х)). Асимптота - ось абсцисс. |
|
Логарифмическая функция y = logax (a > 0) |
|
у = sinx. Синусоида - периодическая функция с периодом Т = 2π |
|
у = а•sin(ωx+φ) - функция гармонических колебаний. Обозначения: а - амплитуда, ω - частота (ω = 2π/Т), φ - фаза (сдвиг). |
|
Косинусоида у = cosx (графики у = sinx и у = cosx сдвинуты по оси х на ) |
|
Тангенсоида y = tgx. Точки разрыва при х = (2k -1), где k = 0, ±1, ±2,.. Вертикальные асимптоты в этих точках. |
|
Гауссиана у = Аe-(ax2). Кривая "нормального" закона распределения ошибок, у которого , , σ 2 - дисперсия ошибки. Симметрия относительно оси у. |
|
у = secx - кривая "цепной линии", эту форму принимает абсолютно гибкая нить, подвешенная в параллельном поле тяжести. А полная функция периодична, и её асимптоты х = (2k -1), как у функции y = tgx. |
|
Круг с центром в точке (xo, yo) радиуса r. (x-xo)2 + (y-yo)2 = r2 |
|
Эллипсс центром в точке (xo, yo). Большая полуось а, малая b, эксцинтриситет , |
|
Затухающее колебание y = Ae-ax•sin(ωx+φ) |
Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:
-
аркси́нус (обозначение: arcsin)
-
аркко́синус (обозначение: arccos)
-
аркта́нгенс (обозначение: arctg; в иностранной литературе arctan)
-
арккота́нгенс (обозначение: arcctg; в иностранной литературе arccot или arccotan)
-
арксе́канс (обозначение: arcsec)
-
арккосе́канс (обозначение: arccosec; в иностранной литературе arccsc)
Свойства функции arcsin
-
(функция является нечётной).
-
при .
-
при x = 0.
-
при
-
-
-
Функция arccos
График функции y = arccos x.
Арккосинусом числа m называется такое значение угла x, для которого
Функция y = cos x непрерывна и на всей своей числовой прямой. Функция y = arccos x является строго убывающей.
-
cos(arccos x) = x при
-
arccos(cos y) = y при
-
D(arccos x) = [ − 1;1], (область определения),
-
E(arccos x) = [0;π]. (область значений).
[править]Свойства функции arccos
-
(функция центрально-симметрична относительно точки
-
при
-
при
-
-
-
-
-
Функция arctg
График функции .
Арктангенсом числа m называется такое значение угла α, для которого
Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго возрастающей.
-
при
-
при
-
-
[править]Свойства функции arctg
Функция arcctg
График функции y=arcctg x
Арккотангенсом числа m называется такое значение угла x, для которого
Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго убывающей.
-
при
-
при 0 < y < π,
-
-
[править]Свойства функции arcctg
-
(график функции центрально-симметричен относительно точки
-
при любых x.
-
11 Теория пределов
Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.
Предел функции по Гейне
Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любой последовательности точек , сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ), последовательность значений функции сходится к .[1]
Предел функции по Коши
Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа ε найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .[1]
Теоремы о пределах
Пусть даны функции и .
-
Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел.
Доказательство [скрыть]
Доказательство методом от противного. Пусть существует и и . Предположим A1 < A2. Возьмём , такое что A1 + ε < A2 − ε, т.е. .
, т.е. A1 − ε < f(x) < A1 + ε.
, т.е. A2 − ε < f(x) < A2 + ε.
Тогда получаем Противоречие. Значит предел единственный.
-
Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более обще,
где — проколотая окрестность точки a.
-
В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:
-
Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:
-
Отделимость от нуля функций, имеющих предел, отличный от нуля.
-
Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.
-
Правило двух милиционеров
-
Предел суммы равен сумме пределов:
-
Предел разности равен разности пределов:
-
Предел произведения равен произведению пределов:
-
Предел частного равен частному пределов.