2 Електричні кола однофазного синусоїдного струму

2.1 Теоретичні відомості

У сучасній техніці використовуються синусоїдні струми широкого діапазону частот. Джерелами синусоїдної ЕРС промислової частоти (50 Гц) є синхронні генератори, встановлені на електричних станціях. Генерування синусоїдних ЕРС високих частот здійснюється за допомогою електронних генераторів.

Величинами, які характеризують синусоїдні ЕРС, напругу і струм є амплітуда, миттєве і діюче значення, період, частота, фаза, зсув за фазою.

Миттєві значення ЕРС, напруги і струму змінюються в часі за синусоїдним законом

, ,

і визначаються трьома основними величинами: амплітудою (найбільше значення миттєвої величини) , , , кутовою частотою і початковою фазою , , . Аргумент функції синуса називають фазою ( – фаза ЕРС, – фаза напруги, – фаза струму). Для прикладу на рисунку2.1,а відображені синусоїдні величини напруги і струму:

В, А,

які змінюються з кутовою частотою рад/с.

Відмітимо, що додатну початкову фазу відкладають від початку координат ліворуч, а від’ємну – праворуч. Вздовж осі абсцис відкладають час , або пропорційну йому величину .

Час, впродовж якого здійснюється одне повне коливання, називається періодом . Величина, обернена до періоду, називається частотою . Одиниця вимірювання частоти – герц (Гц) – кількість коливань за 1 с.

Між кутовою частотою , періодом і частотою справедливе співвідношення . При кутовій частоті рад/с:

Гц, с.

Кут зсуву фаз між напругою і струмом для розглянутого прикладу: .

а) б)

Рисунок 2.1 – Часові залежності (а) і векторна діаграма (б)

синусоїдних напруги і струму

У загальному випадку процеси, які відбуваються в колах змінного струму, складніші в порівнянні з процесами в колах постійного струму. Це обумовлено тим, що в колах змінного струму відбуваються безперервні зміни струму і напруги, а взаємозв’язок між ними описується не алгебраїчними, а диференційними рівняннями. Дійсно, миттєві значення спаду напруги на активному опорі , індуктивності і ємності при проходженні через них струму , дорівнюють:

, , .

Для синусоїдного струму миттєві значення спадів напруг будуть відповідно дорівнювати:

, , .

Як видно із останніх виразів, напруга на активному опорі співпадає за фазою зі струмом, на індуктивності – випереджує, а на ємності – відстає на кут 90. Величини , називають відповідно індуктивним і ємнісним опорами. Слід звернути увагу на те, що індуктивний опір збільшується при збільшенні частоти, а ємнісний, навпаки, зменшується. При цьому індуктивний опір змінюється пропорційно, а ємнісний – обернено пропорційний до частоти.

Для розрахунку електричних кіл синусоїдного струму використовується символічний метод. Він полягає в переході від диференційних рівнянь, до рівнянь, складених у комплексній формі відносно комплексних амплітуд струму, напруги і ЕРС:

; ; .

Роз’язання задачі доцільно супроводжувати побудовою векторних діаграм, які відображають сукупність векторів ЕРС, напруг і струмів кола, зображених для моменту часу . Довжина векторів визначається амплітудою ЕРС, напруги або струму, а кути, які відраховуються від дійсної осі, дорівнюють початковим фазам. Величини , і називають комплексними амплітудами відповідно ЕРС, напруги і струму. На рис. 2.1,б зображена векторна діаграма напруги В і струму А. Комплексні амплітуди напруги і струму відповідно дорівнюють:

В, А.

Змінні ЕРС, напруги і струми під час розрахунків замінюють еквівалентними незмінними в часі величинами – діючими значеннями:

, , .

Для даного прикладу діючі значення дорівнюють:

В; А.

Комплексні діючі значення напруги і струму

В; А.

Відношення комплексної напруги до комплексного струму називають комплексним опором кола

,

де , – модуль і аргумент комплексного опору;

, – дійсна і уявна складові комплексного опору.

Комплексні опори елементів , і записують як

, , .

Величину, обернену до комплексного опору, називають комплексною провідністю

,

де , , – активна, реактивна і повна провідності кола.

Перший і другий закони Кірхгофа у комплексній формі записують так

, ,

де – кількість віток, які сходяться у вузлі;

– кількість віток, які входять у замкнений контур.

Під час розрахунку кіл символічним методом використовують комплексні числа. Будь-яке комплексне число можна відобразити в трьох формах запису – алгебраїчній, тригонометричній та показниковій

,

де , – дійсна і уявна частини комплексного числа;

, – модуль і аргумент комплексного числа.

Додавання і віднімання комплексних чисел зручно виконувати, використавши алгебраїчну форму запису

,

а ділення і множення – показникову форму запису

,

.

У зв’язку з тим, що виникає необхідність у переході від однієї форми запису комплексного числа до іншої, взаємозв’язки між модулем, аргументом, дійсною та уявною частинами комплексного числа наступні:

, , .

При знаходженні аргумента доцільно визначити розміщення вектора комплексного числа на комплексній площині. Комплексне число, наприклад , знаходиться в першому квадранті площини (рисунку 2.2,а). Тоді аргумент .

.

Комплексне число, наприклад , знаходиться в четвертому квадранті площини (рисунку 2.2,б). Тоді аргумент

.

Комплексні числа, , знаходяться в другому і третьому квадрантах (рис. 2.2, в і г). Аргументи і , при цьому

а) б)

в) г)

Рисунок 2.2 – Геометричне зображення комплексних чисел

Для електричних кіл (рисунок 2.3), які містять:

- активний опір (а);

- індуктивність (б);

- ємність (в).

а) б) в)

Рисунок 2.3 – Схеми простих електричних кіл

Нехай до цих кіл прикладена синусоїдна напруга з частотою Гц, початковою фазою і діючим значенням напруги В, а параметри елементів відповідно дорівнюють Ом, мГн, мкФ.

Визначимо індуктивний та ємнісний опори елементів і .

Ом,

Ом.

Діючі значення струмів, які протікають через активний, індуктивний та ємнісний опори,

А;

А;

А.

Комплексні опори ідеалізованих елементів , і

Ом;

Ом;

Ом.

Комплексне діюче значення прикладеної до кіл напруги

В.

Комплексні діючі значення струмів, які протікають через активний, індуктивний і ємнісний опори

А;

А;

А.

Векторні діаграми напруг і струмів для вище розглянутих кіл зображені на рисунку 2.4, а, б і в.

Проаналізувавши властивості електричних кіл з елементами, , , переходять до вивчення властивостей при їх різних з´єднаннях.

Рисунок 2.4 – Векторні діаграми напруг і струмів

Для розрахунку і аналізу електричних кіл синусоїдного струму використовують такі ж методи, як і для електричних кіл постійного струму. Розрахунок електричних кіл синусоїдного струму здійснюють символічним методом, тобто з використанням комплексних чисел.