§3 Властивості тригонометричних функцій
Оскільки
точки, які
відповідають кутам
і
є симетричними відносно осі абсцис
(Ох), то абсциси цих точок співпадають
, ординати є протилежними. Це значить,
що
,
,
тобто функція
є парною,
а
– непарною.
Розглянемо інші тригонометричні функції:
,
звідси
,
тобто функція
є непарною.
,
звідси
,
тобто функція
є непарною.
Для періодичної
функції
виконується рівність
,
де Т – відмінне від нуля число, назване
періодом функції. Кожна періодична
функція має велику кількість періодів,
тобто якщо Т – період, то
– період, де
.
Найменший додатний період функції
називається основним
періодом. Основними періодами для
тригонометричних функцій є:
для функцій
і
;
для функцій
і
.
У більш загальному вигляді можемо
записати:
;
;
;
.
Якщо кути виражати
в радіанах, то можна сказати, що основні
періоди функцій
і
,
а основні періоди функцій
і
.
19. Знайти значення виразу:
1)
;
2)
;
3)
4)
;
5)
6)
.
20. Обчислити:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
;
17)
;
18)
;
19)
;
20)
.
21. Знайти найменший додатний період функцій:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
22. Знайти
значення
,
якщо:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
§4 Основні тригонометричні тотожності
Крім
тотожності
,
основними
тригонометричними тотожностями
називаються також співвідношення :
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
У формулах
,
знаки « + » або « - » вибираються в
залежності від того, у якій чверті
закінчується кут
.
Так, якщо
закінчується в І або ІІ чверті, то беремо
знак « + », а якщо в ІІІ або ІV
чверті, то знак « - » у формулі
.
У формулі
для кутів, що закінчуються в І або ІV
чвертях, потрібно взяти знак « + », а якщо
кути закінчуються в ІІ або ІІІ чвертях,
то знак « - ».
23. Обчислити
значення тригонометричних функцій кута
,
якщо відомо, що:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
24. Спростити вирази:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
;
17)
;
18)
;
19)
;
20)
;
21)
;
22)
.
При доведенні тотожностей звичайно використовують такі способи:
1) вираз, який стоїть в одній частині тотожності, за допомогою тотожніх перетворень приводять до виразу, який стоїть в іншій частині тотожності;
2) вираз, який стоїть у лівій і правій частинах тотожності, приводять до одного і того ж виду;
3) доводять, що різниця між лівою і правою частинами тотожності дорівнює нулю.
25. Довести тотожності:
1)
;
2)
;
3)
4)
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
26. Спростити вирази:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.