Розділ 4 Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики
§ 30 Елементи комбінаторики
Задачі, в яких визначаються всі можливі різні комбінації, складені з скінченого числа елементів за деяким правилом, називаються комбінаторними. Розділ математики, в якому визначається їх розв’язання, називається комбінаторикою. Під час розв’язування комбінаторних задач доводиться розглядати скінчені множини, складені з елементів будь-якої природи, та їх підмножини. Залежно від умови задачі розглядаються скінчені множини, в яких істотним є або порядок елементів, або їх склад, або перше і друге одночасно. Такі скінчені множини (сполуки) дістали певну назву: перестановки, розміщення, комбінації.
1. Перестановки. Усякий встановлений в скінченій множині порядок називається перестановкою її елементів. Множина, в якій задано порядок розміщення її елементів, називається упорядкованою.
Характеристична ознака перестановок: 1) предмети різні; 2) всі місця зайняті; 3) порядок елементів важливий.
Число всіх
перестановок у множині з
елементів позначають
.
Воно дорівнює добутку послідовних
натуральних чисел від 1 до
включно:
.
Добуток
прийнято позначати знаком
(читається «
-
факторіал»); при цьому припускають, що
,
.
Тому можна записати:
2. Розміщення.
Нехай дано
скінчену множину, яка складається з
елементів. Будь-яка її упорядкована
підмножина, яка містить
елементів, де
,
називається розміщенням
з
елементів
по
.
Отже, розміщення відрізняються одне від одного або елементами, або порядком елементів.
Характеристичні
ознаки розміщень: 1) предмети і місця
різні; 2)
;
3) усі
місць необхідно зайняти ; 4) порядок
елементів важливий.
Число розміщень
з
елементів по
елементів позначають
і знаходять за формулою:
.
Якщо
,
то дістаємо формулу:
При розв’язуванні
задач часто користуються рівністю:
.
3. Комбінації.
Нехай дано
скінчену множину, яка складається з
елементів. Будь-яка її підмножина, яка
містить
елементів, де
,
називається комбінацією
з
елементів
по
.
Характеристичні
ознаки комбінацій: 1) предмети різні; 2)
;
3) порядок вибору елементів не має
значення.
Число віх можливих
комбінацій з
елементів по
елементів позначають
і знаходять за формулою:
Число
всіх підмножин множини А, яка складається
з
елементів, дорівнює
.
197. Дано:
А =
,
В =
,
С =
.
Знайдіть:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
198. Дано:
А =
,
В =
,
С =
.
Знайдіть:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
199. Дано:
М =
,
N
=
.
Знайдіть:
1) M/N;
2) N/M;
3) (M/N)
(N/M).
200. Дано
А =
,
В =
.
Знайти: А/В і В/А.
201. Дано:
А = {
:
},
B
= {
:
}.
Знайти
і
.
202. Дано:
А = {
:
},
В = {
:
}.
Знайти
і
.
203. Нехай
А – множина цілих чисел, які діляться
на 4, В – множина цілих чисел, які діляться
на 3. Які із чисел 9, 0, - 24, - 53, 128, 1242048
належать множинам
і
?
204. Знайти
,
якщо:
1) А – множина
парних чисел, В = {
:
,
де
};
2) А – множина простих чисел, В – множина непарних чисел.
205.
Знайти
,
якщо М – множина простих чисел, що менші
від 40,
Р – множина
непарних чисел, більших за 14.
206. Знайти К/F, якщо К = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, F = {2, 4. 6}.
207. Зі 100 студентів лише німецьку мову вивчають 18; німецьку, але не англійську – 23, німецьку і французьку – 8, ніякої мови не вивчають – 24. Скільки студентів вивчають англійську мову? Скільки студентів вивчають англійську і німецьку мову, але не французьку? Скільки студентів вивчають французьку мову, але не вивчають англійську?
208.