Розділ 3 Інтеграл та його застосування
§ 26 Первісна функції. Невизначений інтеграл та його властивості
Функція
називається первісною
для функції
на деякому проміжку, якщо для всіх
із цього проміжку виконується рівність:
.
Якщо функція
є первісною для
на деякому проміжку, то для довільної
постійної
функція
також є первісною для функції
і будь-яка первісна для функції
на цьому проміжку має вигляд
,
де
- довільна стала (число).
Сукупність усіх
первісних для функції
на проміжку називають невизначеним
інтегралом цієї
функції і позначають
.
Таким чином:
.
Основні властивості невизначених інтегралів
1.
;
2.
;
3.
;
4.
,
;
5. Якщо
і
,
то
.
Основні формули інтегрування
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
147. Довести,
що функція
є первісною для функції
на заданому проміжку:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
148. Знайти інтеграли:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
;
9)
; 10)
;
11)
; 12)
.
149. Знайти інтеграли безпосередньо:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
;
9)
; 10)
;
11)
; 12)
;
13)
; 14)
;
15)
; 16)
;
17)
; 18)
;
19)
; 20)
;
21)
; 22)
;
23)
; 24)
;
25)
; 26)
;
27)
; 28)
;
29)
; 30)
;
31)
; 32)
;
33)
; 34)
;
35)
; 36)
;
37)
; 38)
.
150. Знайти невизначені інтеграли :
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
;
9)
; 10)
;
11)
; 12)
/
151. Знайти невизначені інтеграли методом заміни змінної;
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
;
9)
; 10)
;
11)
; 12)
;
13)
; 14)
;
15)
; 16)
;
17)
; 18)
;
19)
; 20)
;
21)
; 22)
;
23)
; 24)
;
25)
; 26)
;
27)
; 28)
;
29)
; 30)
;
31)
; 32)
.
§ 27 Визначений інтеграл та його властивості
Розглянемо
неперервну функцію
,
невід’ємну на відрізку
.
Розіб’ємо відрізок
на
рівних частин
,
довжина кожної частини дорівнює
.
Утворимо суму
добутків
,
де
,
яка називається інтегральною
сумою:
.
Знайдемо
.
Границя інтегральної суми при умові,
що кількість відрізків
,
називається
визначеним
інтегралом
функції
на відрізку
і позначають
Якщо
- первісна для функції
на відрізку
,
то
Ця формула
називається формулою Ньютона – Лейбніца
і є правильною для будь-якої неперервної
на відрізку
функції
;
вона пов’язує поняття інтеграла і
первісної і є правилом обчислення
інтегралів.
Основні властивості визначеного інтегралу:
1.
2.
3.
4.
5. Якщо
,
то
152. Обчислити інтеграли:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
;
9)
; 10)
;
11)
; 12)
;
13)
; 14)
;
15)
; 16)
;
17)
; 18)
;
19)
; 20)
;
21)
; 22)
;
23)
; 24)
;
25)
; 26)
;
27)
; 28)
;
29)
; 30)
;
31)
; 32)
;
33)
; 34)
.
153. Обчислити інтеграли:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
;
9)
; 10)
;
11)
; 12)
;
13)
; 14)
;
15)
; 16)
;
17)
; 18)
;
19)
; 20)
;
21)
;
22)
;
23)
; 24)
;
25)
; 26)
;
27)
; 28)
;
29)
; 30)
;
31)
; 32)
;
33)
; 34)
;
35)
; 36)
;
37)
; 38)
;
39)
; 40)
;
41)
; 42)
.
154. Обчислити інтеграли методом заміни змінної:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
;
9)
; 10)
;
11)
; 12)
;
13)
; 14)
;
15)
; 16)
;
17)
; 18)
;
19)
; 20)
;
21)
; 22)
;
23)
; 24)
;
25)
; 26)
;
27)
; 28)
;
29)
; 30)
.
155.
Обчислити
інтеграл
,
якщо
156. При
яких значеннях
виконується нерівність:
1)
; 2)
.