Связь между напряженностью e и потенциалом  электрического поля.

Для количественной характеристики электрического поля имеется две величины: напряженность поля – это силовая характеристика поля и потенциал – энергетическая характеристика поля. Найдем связь между этими величинами.

Работа по перемещению точеного положительного зарядана бесконечно малое расстояние dх равна

С другой стороны та же работа равна

.

Приравняв правые части этих уравнений, получаем

.

Если перемещение заряда происходит в трехмерном пространстве, и имеются перемещения по всем трем пространственным осям, то получим следующие соотношения:

, , ,

тогда вектор напряженности поля можно выразить следующим образом

,

где ,, - единичные векторы ( орты) координатных осей ОХ, ОУ, ОZ;

, , - частные производные от потенциала по координатам х, у, z.

Оператор называется градиентом и обозначается grad или .

Градиентом скалярной величины называется вектор, направленный в сторону наиболее быстрого возрастания величины и численно равный приращению величины на единицу длины данного направления.

Для напряженности получили , т.е. напряженность поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак «минус» отражает тот факт, что вектор напряженности всегда направлен в сторону убыли потенциала.

3.3.2. Порядок решения задач

Задачи, в которых необходимо вычислить работу по перемещению электрического заряда в электрическом поле, созданном другими зарядами, можно решать двумя способами. Первый путь решения сводится к непосредственному вычислению работы сил поля по перемещению заряда из одной точки поля в другую. При таком способе решения необходимо знать зависимость величины напряженности от пространственных координат.

Второй подход к таким задачам использует тот факт, что работа сил потенциального поля всегда равна убыли потенциальной энергии заряда в поле: A = -W = - q(₁ - ₂).

где q - заряд, переносимый в поле,

₁ и ₂ - потенциал точек поля, соответствующих начальному и конечному положениям заряда.

Если использовать этот способ, то решение задачи сводится к нахождению потенциала тех точек поля, в которых находился заряд в интересующие нас моменты времени.

Последовательность действий при решении таких задач:

1. Нарисовать силовые линии поля. Обозначить те точки, в которых находился заряд в начальный и конечный моменты времени, разобраться, какие скорости имел заряд в этих точках.

2. В этих выделенных точках рассмотреть характеристики поля и самого заряда, который движется в этом поле (W_к; W_n).

3. Для вычисления зависимости потенциала  от координат или от одного из расстояний использовать связь между напряженностью и потенциалом электрического поля

или

, или ,

и получить  = f(x) или  = f(r)

4. Записать выражение для работы сил поля в виде или A₁₂ = - q(₁ - ₂).

В тех случаях, когда на заряд действуют только силы электрического поля, удобно воспользоваться законом сохранения энергии для заряда.

W_к1 + W_п1 = W_к2 + W_п2.

5. Решая систему полученных уравнений, найти аналитическое выражение для вычисления искомой величины. Подставить заданные численные значения и получить количественный ответ задачи.

Если по условию задачи необходимо построить графики зависимостей искомых величин от расстояния, то опять возможно два варианта:

а) При наличии численных надо вычислить численное значение искомой величины для нескольких расстояний, выбирать точки для расчета необходимо с учетом симметрии. Выбрать оси координат, задать разумный масштаб и нанести все точки, для которых выполнены расчеты. По полученным точкам провести график.

б) Если функция найдена только в аналитическом виде, то в произвольном масштабе показать график, соответствующий полученной зависимости.